8.1 Площадь равнобедренной трапеции равна 285. Найдите периметр этой трапеции, если ее основания равны 11 и 27. 8.2.

8.1

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/34ts444).

По формуле площади трапеции определим ее высоту.

Sавсд = (ВС + АД) * ВН / 2.

ВН = 2 * S / (ВС + АД) = 2 * 285 / 38 = 15 см.

Так как трапеция равнобокая, то отрезок АН = (АД – ВС) / 2 = (27 – 11) / 2 = 8 см.

Треугольник АВН прямоугольный, тогда АВ² = АН² + ВН² = 64 + 225 = 289.

АВ = 17 см.

Тогда Равсд = 17 + 11 + 17 + 27 = 72 см.

Ответ: Периметр трапеции равен 72 см.

8.2

Через радиус описанной окружности определим длину стороны правильного треугольника.

R = a * √3  / 3.

а = 3 * R / √3 = 3 * 10 / √3 = 10 * √3 см.

Высота равностороннего треугольника равна: h = a * √3 / 2 = (10 * √3) * √3 / 2 = 15 см.

Ответ: Высота равностороннего треугольника равна 15 см.

8.3

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2sAMMSu).

Пусть длина отрезка ВН = Х см, тогда дина ВС = 28 + Х см.

Так как МН параллельно АС, то треугольники АВС и МВН подобны по двум углам.

Тогда К = МН / АС = 13 / 65 = 1/5.

ВС / ВН = 1/5.

Х  / (Х + 28) = 1/5.

5 * Х = Х + 28.

4 * Х = 27.

Х = ВН = 28 / 4 = 7 см.

Ответ: Длина отрезка ВН равна 7см.

8.4

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2Q2lf4a).

Так как отрезки АЕ и ДЕ биссектрисы углов, то они отсекают равнобедренные треугольники при боковых сторонах. Тогда ВЕ = АВ, СЕ = ДЕ, а так как АВ = СД, то и ВЕ = СЕ, а значит точка Е середина стоны ВС, что и требовалось доказать.