В выпуклом четырехугольнике АВСD отмечены точки K, L, M и N - середины сторон AD, AB, BC, и CD соответственно. Найдите

Рисунок: https://bit.ly/2Pybs6U.

Для треугольников ABC и ACD отрезки KL и IM – средние линии, которые параллельны АС. Для треугольников ABD и BCD отрезки КІ и LM – средние линии, которые параллельны BD. Четырехугольник KLMN – параллелограмм. Средние линии делят высоты AJ и CG пополам.

Диагональ ВD поделена средними линиями треугольников:

BF = FO OH = HD;

BF+ HD = FO + OH;

BD = BF + FO + OH + HD;

BD = 2(FO +OH) = 2 * FH;

FH = BD/2;

PJ = AJ/2, где AJ – высота треугольника ABD.

S_KFHI = FH * PJ = BD/2 *AJ/2 = (BD*AJ)/4.

S_ABD = (BD*AJ)/2.

S­_KFHI = S_ABD/2.

Аналогично можно доказать, что S_FLMH = S_BCD/2.

S_KFHI + S_FLMH = S_ABD/2 + S_BCD/2 = (S_ABD + S_BCD)/2

S_KLMN  = S_ABCD/2;

Ответ: S_ABCD/S_KLMN = 2.