Угол при основании равнобедренной трапеции равен 30 градусам; площадь трапеции равна 72 см(в квадрате) . Найдите радиус

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2wU1AL8).

Первый способ.

Воспользуемся формулой площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности.

S = 4 * R² / Sinα, где α – острый угол трапеции.

72 = 4 * R² / Sin30

R2 = 7² * (1/2) / 4 = 9.

R = 3 см.

Второй способ.

По свойству трапеции, в которую вписана окружность, суммы длин противоположных сторон равны. АВ + СД = ВС + АД.

АД + ВС = 2 * СД, так как АВ = СД.

Площадь трапеции равна:

S = (ВС + АД) * СН / 2 = 2 * СД * СН / 2 = СД * СН. (1).

Из треугольника СНД, СН = СД * Sin30 = CД / 2.

Тогда S = CД * СД / 2 = СД² / 2.

СД² = 72 * 2 = 144.

СД = 12 см.

Подставим в уравнение 1. S = 12 * CH.

CH = 72 / 12 = 6 см.

СН – высота трапеции и диаметр окружности, тогда R = 6 / 2 = 3 см.

Ответ: R = 3 см.