В равнобедренном остроугольном треугольнике АВС АВ=ВС=60 см, а расстояние от вершины А до точки пересечения высот равно

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2WdGC44).

Высота ВК равнобедренного треугольника АВС так же есть биссектриса треугольника.

Пусть длина отрезка МН = Х см, а длина отрезка ВН = У см. Тогда, в треугольнике АВН, по свойству биссектрис, АВ / АМ = ВН / МН.

60 / 45 = У / Х.

У = Х * 60 / 45 = 4 * Х / 3.

В прямоугольном треугольнике АВН, по теореме Пифагора, АВ² = АН² + ВН² = (45 + Х)² + У².

3600 = (2025 + 90 * Х + Х²) + (16 * Х² / 9).

9 * 3600 = (18225 + 810 * Х + 9 * Х² + 16 * Х².

25 * Х² + 810 * Х – 14175 = 0.

5 * Х² + 162 * Х – 2835 = 0.

Решим квадратное уравнение.

Х = МН = 12,6 см.

Тогда АН = 45 + 12,6 = 57,6 см.

Определим площадь треугольника АВС.

Sавс = ВС * АН / 2 = 60 * 57,6 / 2 = 1728 см².

Ответ: Площадь треугольника равна 1728 см².