Дано: АВ и АС-касательные. Доказать: АО- биссектриса угла ВАС

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2Z3Eb6H).

Построим радиусы ОВ и ОС.

Радиусы ОВ и ОС проведены к точкам касания В и С касательных АВ и АС из центра окружности, тогда радиусы ОВ и ОС перпендикулярны касательным АВ и АС, а тогда треугольники АОС и АОВ прямоугольные.

Касательные АС и АВ проведены из одной точки А, тогда, по свойству касательных, их длины равны,  АВ = АС.

В прямоугольных треугольниках АОВ и АОС гипотенуза АО общая, катет ОВ = ОС = R, тогда треугольники АОВ и АОС равны по катету и гипотенузе, а тогда угол ОАВ = ОАС, а значит отрезок ОА биссектриса угла ВАС, что и требовалось доказать.