В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 4, а боковые рёбра равны три корня из шести,

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2XjI3PS).

Так как шестиугольник в основании пирамиды правильный, то диагональ АД параллельна стороне ВС, а тогда угол между прямыми BG и AД равен угла между ВС и ВG. Боковое ребро ВSC есть равнобедренный треугольник, проведем его высоту SK, которая делит сторону ВС пополам. ВК = СК = ВС / 2 = 4 / 2 = 2 см.Точка G делит ребро SC в отношении 1 / 2, тогда SG = SC / 3 = 3 * √6 / 3 = √6 см, CG = 2 *SC / 3 = 2 * 3 * √6 / 3 = 2 * √6 см.

B прямоугольном треугольнике SKC, по теореме Пифагора, SK² = SC² – KC² = 54 – 4 = 50.

SK = 5 * √2 см.

 Из точки G проведем перпендикуляр к стороне ВС. Треугольники SKC и GMC подобны по двум углам, тогда SС / KС = GC /МС.

MC = KC * GC / SC = (2 * 2 * √6 / 3 * √6) = 4 / 3. Тогда ВМ = ВС – МС = 4 – 4 / 3 = 8 / 3.

SK / GM = KC /МС.

GM = SK * MC / KC = 5 * √2 * (4 / 3) / 2 = 10 * √2 / 3.

Тогда tgGBM = GM / BM = (10 * √2 / 3) / (8 / 3) = 5 * √2 / 4.

Ответ: Угол GBM = arctg(√2 / 4).