15. Отрезок MN -средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне AB. Площадь треугольника AMN равна 21. Найдите площадь

1).

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2wqfXFR).

В образовавшемся треугольнике АСN, NM – медиана этого треугольника так как точка М середина АС. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. По условию, Samn = 21 см², значит и Snmc то же равно 21 см².

В треугольнике АВС АN,также будет медианой, так как точка N – середина СВ и она делит треугольник АВС на два равновеликих треугольника Sanb = Sanc.

Sanc = Samn + Snmc = 21 + 21 = 42 см². Тогда Sabc = Sanc + Sanb = 42 + 42 = 84 cм².

Ответ: Sabc = 84 cм².

2).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.S1 / S2 = K², тогда, в нашем случае К = √(16 / 49) = 4/7.

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Р1 / Р2 = 4/7.

Р1 = Р2 * 4 / 7 = 35 * 4 / 7 = 20 см.

Ответ: Периметр меньшего треугольника равен 20 см.

3).

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2PHCDdQ).

Треугольники АВД и ВРС подобны по двум углам, так как угол РВС = РАД, а РСВ = РДА, как соответственные углы при пересечении параллельных АД и ВС.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Sврс / Saрд = (3/4)².

Sврс / 80 = 9/16.

Sврс = 80 * 9 / 16 = 45 см².

Тогда площадь трапеции равна: Sавсд = Sapд – S bpc = 80 – 45 = 35 см².

Ответ: Площадь трапеции равна 35 см².

4).

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2LxvGse).

Проведем из вершины В высоту к основанию АС, которая в равнобедренном треугольнике будет и медианой, а значит АН = СН = АС / 2 = 32 / 2 = 16 см.

В прямоугольном треугольнике АВН определим по теореме Пифагора катет ВН.

ВН² = АВ² – АН² = 400 – 256 = 144.

ВН = 12 см.

Тогда tgA = ВН / АН = 12 /16 = 3/4 = 0,75.

Ответ: tgA = 0,75.

5).

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2NmvKNt).

Определим, по теореме Пифагора длину гипотенузы АВ.

АВ2 = АС2 + ВС2 = 16 + 4 = 20.

АВ = √20 = 2 * √5.

Тогда CosB = CB / AB = 2 / 2 * √5 = 1 / √5 = √5 / 5.

Ответ: CosB = √5 / 5.