В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна a, угол между смежными боковыми гранями равен 120 градусов.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2Vj6lHJ).

В основании пирамиды лежит квадрат со стороной а, тогда его диагональ ВД = а * √2 см

Проведем из точек В и Д перпендикуляры к ребру КС. Угол ВНД = 120⁰ по условию, ВН = ДН по построению. По теореме косинусов, в треугольнике ВНД,

ВД² = ВН² + ДН² – 2 * ВН * ДН * Cos120 = 3 * ВН2 = а2 / 2.

ВН = ДН = а * √2 / √3 = а * √6 / 3 см.

В прямоугольном треугольнике СНД определим синус угла ДСН.

SinДСН = ДН / СД = (а * √6 / 3) / а = √6 / 3.

Проведем высоту МК треугольника МСД которая так же есть его медиана, тогда СК = ДК = а / 2.

Определим косинус угла ДСН. CosДСН = √(1 – Sin²ДСН) = √(1 – 2 / 3) = √1 / 3 = √3 / 3.

Тогда tgДСН = SinДСН / CosДСН = (√6 / 3) / (√3 / 3) = √6 / √3 = √2.

В прямоугольном треугольнике МКС tgДСН = МК / СК.

МК = СК * tgДСН = (а / 2) * √2 = а * √2 / 2.

Определим площадь треугольника ДСМ.

Sдсм = СД * МК / 2 = (а * а * √2 / 2) / 2 = а² * √2 / 4.

Тогда Sбок = 4 * Sдсм = 4 * а² * √2 / 4 = а² * √2 см².

Ответ: Площадь боковой поверхности равна а² * √2 см².