В прямоугольном треугольнике авс с = 90 медианы ск и вм взаимно перпендикулярны и пересекаются в точкеО найдите гипотенузу

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2UtBcSg).

Так как СК и ВМ медианы треугольника, то в точке О они делятся в отношении 2 / 1, тогда ВО / МО = 2 / 1. ВО = 2 * МО = 2 * √2 см.

Тогда ВМ = МО + ВО =  √2 + 2 * √2 = 3 * √2 см.

Так как медианы пересекаются под прямым углом, то треугольник СОМ прямоугольный и подобен треугольнику ВСМ по острому углу.

Тогда МВ / СМ = СМ / ОМ.

СМ² = МВ * ОМ = 3 * √2 * √2 = 6.

СМ = √6 см.

Тогда АС = 2 * СМ = 2 * √6 см.

В прямоугольном треугольнике СОМ, по теореме Пифагора, СО2 = СМ2 – ОМ2 = 6 – 2 = 4.

СО = 2 см.

Из прямоугольного треугольника ВОС, СВ² = СО² + ВО² = 4 + 8 = 12.

СВ = √12 = 2 * √3.

Тогда в прямоугольном треугольнике АВС, АВ2 = СВ2 + АС2 = 12 + 24 = 36.

АВ = 6 см.

Ответ: Длина гипотенузы АВ равна 6 см.