В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD.Найдите площадь трапеции,если угол CAD=30

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2xDGMHj).

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСД, у которого угол САД = 30⁰.

Тогда катет СД лежит против угла 30⁰, а соответственно, его длина равна половине длины гипотенузы АД. СД = АД / 2 = 12 / 2 = 6 см.

В треугольнике АСД угол АДС = 180 – 90 – 30 = 60⁰, тогда и угол ВАД равен 60⁰, так как трапеция равнобедренна.

Угол ВСА = САД как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых ВС и АД секущей АС, тогда угол ВАС = ВСА, и треугольник АВС равнобедренный АВ = ВС =  6 см.

Отрезок ДЕ, основания АД равен полуразности оснований.  ДЕ = (АД – ВС) / 2 = (12 – 6) / 2 = 3 см.

Тогда в прямоугольном треугольнике СЕД, по теореме Пифагора, определим катет СЕ.

СЕ² = СД² – ДЕ².

СЕ² = 36 – 9 = 27.

СЕ = 3 * √3 см.

Определим площадь трапеции.

S = (АД + ВС) * СЕ / 2 = (12 + 6) * 3 * √3 / 2 = 27 * √3 см².

Ответ: Площадь трапеции равна 27 * √3 см².