ПОЖАЛУЙСТА С ПОЛНІМ РЕШЕНИЕМ ! 1. Точка В симетрична точці А відносно точки О. Знайдіть координати точки В, якщо А(11;-7), О(5;3). У відповідь записати координати точки в дужках через крапку з комою без пробілів. Наприклад, (1;2) 2. Вершини трикутника АВС розміщені в точках А(2;5), В(6;1), С(2;1). Знайдіть координати точки А1, симетричної точці А відносно прямої ВС. 3. Яка довжина відрізка АВ, якщо точка О - його центр симетрії і А (–3 ; 0) , О (0 ; -4)?

Координати точки В можна знайти, використовуючи формулу для знаходження координат точки, симетричної даній відносно точки О:x(В) = 2x(О) - x(А)y(В) = 2y(О) - y(А)Підставляючи відомі значення координат, маємо:x(В) = 2 * 5 - 11 = -1y(В) = 2 * 3 - (-7) = 13Отже, координати точки В дорівнюють (-1;13).Координати точки А1 можна знайти, використовуючи формулу для знаходження координат точки, симетричної даній відносно прямої:x(А1) = x(А) - 2 * (x(А) - x(С))) / 2y(А1) = y(А) - 2 * (y(А) - y(С))) / 2Підставляючи відомі значення координат, маємо:x(А1) = 2 - 2 * (2 - 2) / 2 = 2y(А1) = 5 - 2 * (5 - 1) / 2 = 3Отже, координати точки А1 дорівнюють (2;3).Відрізок АВ є діаметром кола з центром в точці О, оскільки ця точка є центром симетрії відрізка. Радіус кола дорівнює половині довжини відрізка АВ:r = (1/2) * ABЗнаходимо довжину відрізка АО за допомогою формули відстані між точками:AB = 2 * AO = 2 * √[(0 - (-3))^2 + (-4 - 0)^2] = 10Отже, довжина відрізка АВ дорівнює 20.

Координати точки О(5;3) є середніми значеннями координат точок А і В. Так як точка В симетрична точці А відносно точки О, то координати точки В будуть симетричні відносно координат точки О. Щоб знайти координати точки В, потрібно скористатися формулами симетрії точки відносно заданої точки:x(В) = 2x(О) - x(А) = 25 - 11 = -1y(В) = 2y(О) - y(А) = 23 + 7 = 13Отже, координати точки В дорівнюють (-1;13).Пряма, яка проходить через точки В і С, має рівняння:y - y(В) = (y(С) - y(В))/(x(С) - x(В)) * (x - x(В))абоy - 1 = (1-5)/(2-6) * (x - 6)абоy - 1 = 1/2 * (x - 6)абоy = 1/2 * x - 2Так як точка А1 симетрична точці А відносно прямої ВС, то відрізок АА1 буде перпендикулярним до прямої ВС і його середина буде лежати на цій прямій. Тому, для знаходження координат точки А1, потрібно знайти середину відрізка АВ, яка має координати ((x(А) + x(В))/2; (y(А) + y(В))/2) = ((2 - 1)/2; (5 + 13)/2) = (1.5;9).Точка А1 лежить на промені, який починається в середині відрізка АВ і проходить через точку А. Цей промінь має напрямок, який є протилежним до вектора ВС, тобто координати вектора ВС дорівнюють (2-2;1-1) = (0;0), тому він не має нахилу. Значить, відрізок АА1 має той же нахил, що й відрізок ВС.Отже, для знаходження координат точки А1 можна скористатися формулою симетрії точки відносно прямої. 3. Для розв'язання цієї задачі варто відновити координати точки В за відомими координатами точок А та О, оскільки точка О є центром симетрії відрізка АВ.За властивостями симетрії, координати точки В будуть такими самими, як і координати точки, яка симетрична до точки О відносно точки А.Тому, спочатку визначимо координати точки О1, симетричної до точки О відносно точки А:О1 = 2А - О = 2(-3;0) - (0;-4) = (-6;0) - (0;-4) = (-6; -4)Тепер використаємо властивості відстані між точками, щоб знайти довжину відрізка АВ:AB = |OB - OA| = √[(0 - (-6))^2 + (-4 - 0)^2] = √[6^2 + 4^2] = √52 ≈ 7,21Отже, довжина відрізка АВ приблизно дорівнює 7,21 одиницям довжини.