Математика 11 класс

Перед началом решения введем обозначения: пусть точки A и B - середины параллельных ребер, M - середина ребра, соединяющего соседние вершины основания октаэдра. Для нахождения кратчайшего расстояния между точками A и B по поверхности октаэдра нужно ответить на вопрос: по какой кривой проходит кратчайший путь на его поверхности? Заметим, что октаэдр можно разбить на 8 равных треугольных пирамид, вершины которых совпадают с центром октаэдра, а основаниями являются равносторонние треугольники, образованные соседними ребрами. Тогда кратчайший путь между точками A и B по поверхности октаэдра будет проходить по прямой линии, проходящей по середине ребра, соединяющего точки M (см. рисунок). [asy] import three; currentprojection = perspective(6,3,2); // define points real a = 1; triple A = (-a,0,0); triple B = (a,0,0); triple C = (0,-a,0); triple D = (0,a,0); triple E = (0,0,-a); triple F = (0,0,a); triple M1 = (0,-a/sqrt(2),a/sqrt(2)); triple M2 = (0,a/sqrt(2),a/sqrt(2)); triple M3 = (a/sqrt(2),0,a/sqrt(2)); triple M4 = (-a/sqrt(2),0,a/sqrt(2)); triple M5 = (0,-a/sqrt(2),-a/sqrt(2)); triple M6 = (0,a/sqrt(2),-a/sqrt(2)); triple M7 = (a/sqrt(2),0,-a/sqrt(2)); triple M8 = (-a/sqrt(2),0,-a/sqrt(2)); triple P1 = (0,-a/2,0); triple P2 = (0,a/2,0); triple P3 = (-a/2,0,0); triple P4 = (a/2,0,0); // draw octahedron draw(B--D--F--A--B--E--A--C--E--F--D--C--B); draw(M1--F--M2, dashed); draw(M3--F--M4, dashed); draw(M5--E--M6, dashed); draw(M7--E--M8, dashed); // draw points dot(A); dot(B); dot(C); dot(D); dot(E); dot(F); dot(M1); dot(M2); dot(M3); dot(M4); dot(M5); dot(M6); dot(M7); dot(M8); dot(P1); dot(P2); dot(P3); dot(P4); // draw shortest path draw(P1--P2); [/asy] Тогда кратчайшее расстояние между точками A и B будет равно расстоянию между точками, лежащими на линии, проходящей по середине ребра, соединяющего точки M. Найдем длину такой линии. Она проходит через центр оснований соседних пирамид и состоит из двух отрезков: от центра одного основания до точки M на его ребре и от центра этого основания до центра соседнего основания. Найдем длину каждого отрезка от центра основания до точки M. Для этого нарисуем прямую, проходящую через точку M и перпендикулярную основанию пирамиды, и обозначим точки пересечения этой прямой с ребром и основанием как X и Y соответственно. Треугольник MXY - прямоугольный, причем угол MXY равен 45 градусам, так как основание пирамиды - равносторонний треугольник, у которого каждый угол равен 60 градусам. Значит, по теореме Пифагора, длина отрезка MX равна a/2√2. Таким образом, длина каждого отрезка от центра основания до точки M равна a/2√2. Найдем теперь расстояние между центрами соседних оснований. Для этого нужно найти длину высоты пирамиды, опущенной на основание. Так как каждая пирамида - правильная треугольная пирамида, то высота опущенная на основание равна a/√2. Тогда расстояние между центрами соседних оснований равно a. Значит, кратчайшее расстояние между точками A и B равно a/2 + a/2√2. Ответ: кратчайшее расстояние между серединами двух параллельных ребер правильного октаэдра равно a/2 + a/2√2.