1. У трикутнику ABC A(-3; -1), В(1;5), М та N - середини сторін AB та ВС відповідно, N(4; 2). Знайти: а) довжину середньої лінії MN трикутника б) довжину медіани СМ трикутника в) дослідити, чи буде цей трикутник рівнобедреним, чи буде він прямокутним

а) Довжина середньої лінії MN трикутника дорівнює половині довжини сторони BC: MN = BC/2. Точка М - середина сторони AB, отже, AB = 2MN. Точка N - середина сторони BC, тому вектор BC = 2MN + BM. Точки M та N - середини відповідних сторін трикутника, тому вектори AM і CN мають напрямок серединних ліній, тобто є напрямками бісектрис кутів BAC та BCA відповідно. Оскільки вектор AM є бісектрисою кута BAC, то він перпендикулярний бісектрисі кута BCA і проходить через точку N. Звідси вектор BM = 2MN і вектор BC = 3MN. Отже, довжина середньої лінії MN дорівнює MN = BC/3 = 4.б) Довжина медіани СМ трикутника дорівнює половині довжини сторони AB: CM = AB/2. Точки М та N - середини сторін AB та BC відповідно, тому вектор CN = BN - BC/2 = BM/2. Оскільки вектор AM є бісектрисою кута BAC, то він перпендикулярний вектору BN і проходить через точку N. Таким чином, вектор BM паралельний вектору AC і дорівнює AC/2. Звідси AB = 2BM і CM = AB/2 = BM = AC/4 = sqrt(5^2+4^2)/4 = 1.41.в) Перевіримо, чи буде трикутник ABC рівнобедреним. Для цього порівняємо довжини сторін AB і AC. AB = 2BM = 2sqrt(5^2+4^2)/4 = sqrt(41)/2. Треба порівняти це значення з довжиною сторони AC. Для цього знайдемо координати точки C:C = A + AC = (-3, -1) + t(4, 6) = (1, 5) => t = 1.Тому AC = sqrt((1 - (-3))^2 + (5 - (-1))^2) = 2sqrt(10). Отже, сторони не рівні, тому трикутник ABC не є рівнобедр