№ 1. Две стороны параллелограмма равны 4 см и 4√3 см, а угол между ними – 30°. Найдите: 1) большую диагональ параллелограмма; 2) площадь параллелограмма

№ 2. В треугольнике ABC известно, что AC = 3√2 см, BC = 3 см, ∠A = 30°. Найдите угол B.

С ПОДРОБНЫМ РЕШЕНИЕМ

1. Для нахождения большей диагонали параллелограмма воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим стороны параллелограмма a и b, а большую диагональ - с.

Так как угол между сторонами параллелограмма равен 30°, то:

cos(30°) = √3/2

Тогда:

c² = a² + b² - 2ab cos(30°) = 4² + (4√3)² - 2 * 4 * 4√3 * (√3/2) = 64

c = √64 = 8 см.

Ответ: большая диагональ параллелограмма равна 8 см.

2. Чтобы найти площадь параллелограмма, можно воспользоваться формулой:

S = a * h

где a - длина одной из сторон параллелограмма, а h - высота, опущенная на эту сторону.

Найдем высоту параллелограмма, опущенную на сторону длиной 4 см. Она будет равна:

h = b * sin(30°) = (4√3 см) * (1/2) = 2√3 см.

Тогда площадь параллелограмма будет равна:

S = 4 см * 2√3 см = 8√3 см².

Ответ: площадь параллелограмма равна 8√3 см².

вторая задача

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов:

a² = b² + c² - 2bc cos(A)

где a, b и c - длины сторон треугольника, A - противолежащий угол.

Применим теорему косинусов к треугольнику ABC. Пусть сторона AC соответствует стороне a, сторона BC - стороне b, а сторона AB - стороне c. Тогда:

c² = a² + b² - 2ab cos(C)

где C - угол при вершине B.

Так как угол A равен 30°, то угол C равен:

C = 180° - 30° - 90° = 60°

Тогда:

c² = a² + b² - 2ab cos(60°)

c² = a² + b² - ab

(3√2)² = a² + 3² - 2 * a * 3 * (1/2)

18 = a² - 3a + 9

a² - 3a - 9 = 0

Решая квадратное уравнение, получаем:

a ≈ 3,08 см или a ≈ -0,08 см

Так как сторона треугольника не может быть отрицательной, то a ≈ 3,08 см.

Таким образом, сторона AC равна 3√2 см, а сторона BC равна 3 см. Теперь можем применить теорему синусов, чтобы найти угол B:

sin(B) / 3 = sin(30°) / (3√2)

sin(B) = √2 / 4

B = arcsin(√2 / 4) ≈ 35,26°

Ответ: угол B примерно равен 35,26°.