№ 1. Две стороны параллелограмма равны 8 см и 3 см, а угол между ними – 120°. Найдите: 1) большую диагональ параллелограмма; 2) площадь параллелограмма.

№ 2 В треугольнике DEF известно, что DF = 8√2 см, EF = 8√3 см, ∠E = 45°. Найдите угол D.

С ПОДРОБНЫМ РЕШЕНИЕМ

1. Для нахождения большей диагонали параллелограмма воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим стороны параллелограмма a и b, а большую диагональ - с.

Так как угол между сторонами параллелограмма равен 120°, то:

cos(120°) = -0,5

Тогда:

c² = a² + b² - 2ab cos(120°) = 8² + 3² - 2 * 8 * 3 * (-0,5) = 97

c = √97 ≈ 9,85 см.

Ответ: большая диагональ параллелограмма равна примерно 9,85 см.

2. Чтобы найти площадь параллелограмма, можно воспользоваться формулой:

S = a * h

где a - длина одной из сторон параллелограмма, а h - высота, опущенная на эту сторону.

Найдем высоту параллелограмма, опущенную на сторону длиной 8 см. Она будет равна:

h = b * sin(120°) = 3 см * √3 / 2 = 1,5√3 см.

Тогда площадь параллелограмма будет равна:

S = 8 см * 1,5√3 см = 12√3 см².

Ответ: площадь параллелограмма равна 12√3 см².

а это вторая задача

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов:

a² = b² + c² - 2bc cos(A)

где a, b и c - длины сторон треугольника, A - противолежащий угол.

Применим теорему косинусов к треугольнику DEF. Пусть сторона DF соответствует стороне a, сторона EF - стороне b, а сторона DE - стороне c. Тогда:

c² = a² + b² - 2ab cos(C)

где C - угол при вершине D.

Так как угол E равен 45°, то угол C равен:

C = 180° - 45° - 90° = 45°

Тогда:

c² = a² + b² - 2ab cos(45°)

c² = a² + b² - ab√2

(8√3)² = a² + (8√2)² - 2 * a * 8√2 * (1/√2)

192 = a² + 128 - 16a

a² - 16a + 64 = 0

(a - 8)² = 0

a = 8 см

Таким образом, сторона DF равна 8 см, а сторона EF равна 8√3 см. Теперь можем применить теорему синусов, чтобы найти угол D:

sin(D) / 8 = sin(45°) / (8√3)

sin(D) = 1 / (2√3)

D = arcsin(1 / (2√3)) ≈ 30,96°

Ответ: угол D примерно равен 30,96°.