№ 1. Две стороны параллелограмма равны 3 см и 4√2 см, а угол между ними – 135°. Найдите: 1) большую диагональ параллелограмма; 2) площадь параллелограмма.

№ 2. В треугольнике DEF известно, что EF = 10√3 см, DE = 10 см, ∠F = 30°. Найдите угол D.

С ПОДРОБНЫМ РЕШЕНИЕМ

1. Для нахождения большей диагонали параллелограмма воспользуемся теоремой косинусов. В параллелограмме большая диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его стороны - это стороны треугольника. Тогда:

a² + b² = c²

где a и b - длины сторон параллелограмма, а c - длина большей диагонали.

Так как угол между сторонами параллелограмма равен 135°, то он является острым прилегающим углом прямоугольного треугольника, образованного большей диагональю и одной из его сторон. Тогда другой угол треугольника будет равен 45°, а гипотенуза будет равна:

c = √(a² + b² - 2ab cos(45°))

c = √((3 см)² + (4√2 см)² - 2 * 3 см * 4√2 см * cos(135°))

c = √(9 см² + 32 см² - 24√2 см²) = √17 см² = 4,12 см (округляем до сотых)

Ответ: большая диагональ параллелограмма равна 4,12 см.

2. Чтобы найти площадь параллелограмма, можно воспользоваться формулой:

S = a * h

где a - длина одной из сторон параллелограмма, а h - высота, опущенная на эту сторону.

Высота параллелограмма, опущенная на сторону длиной 3 см, будет равна:

h = b * sin(135°) = (4√2 см) * (1/√2) = 2 см

Тогда площадь параллелограмма будет равна:

S = 3 см * 2 см = 6 см²

Ответ: площадь параллелограмма равна 6 см².

вот вторая задача

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов:

a² = b² + c² - 2bc cos(A)

где a, b и c - длины сторон треугольника, A - противолежащий угол.

Применим теорему косинусов к треугольнику DEF. Пусть сторона EF соответствует стороне a, сторона DE - стороне b, а сторона DF - стороне c. Тогда:

c² = a² + b² - 2ab cos(C)

где C - угол при вершине D.

Так как стороны EF и DE уже известны, то найдем сторону DF:

b² = c² + a² - 2ac cos(B)

где B - угол при вершине E.

Так как угол F равен 30°, то угол B равен:

B = 180° - 30° - 90° = 60°

Тогда:

b² = c² + a² - 2ac cos(60°)

b² = c² + a² - ac

10² = c² + (10√3)² - 10c

c² - 100c + 300 = 0

Решая квадратное уравнение, получаем:

c = 60 см или c = 5 см

Так как сторона треугольника не может быть меньше суммы двух других сторон, то сторона DF равна 60 см, а сторона EF равна 10√3 см.

Теперь можем применить теорему синусов, чтобы найти угол D:

sin(D) / 10 = sin(30°) / 10√3

sin(D) = 0.5

D = 30° или D = 150°

Так как угол D является внутренним углом треугольника, то он не может быть больше 180°. Значит, ответ: угол D равен 30°.