B5. ABCDA1B1C1D1 - правильная призма, боковое ребро которой в два раза больше ребра основания. Точка О- центр грани ABCD. Найдите cos a, где а - угол между прямыми В1 О и С1D. В ответ за- пишите 2√10cosa.​

Відповідь:

2√10*cos(a) = 0

Пояснення:

Поскольку ABCDA1B1C1D1 - правильная призма, то грани ABCD и A1B1C1D1 являются квадратами. Пусть ребро основания равно a, тогда боковое ребро равно 2a. Точка O - центр грани ABCD, следовательно, OB = OD = a/2. Так как B1O и C1D являются диагоналями квадратов, то B1O = C1D = a√2/2. Рассмотрим треугольник B1OC1. Он является прямоугольным, так как угол B1OC1 прямой. Следовательно, по теореме Пифагора, B1C1 = √(B1O^2 + OC1^2) = √((a√2/2)^2 + (2a)^2) = a√(10)/2. Теперь рассмотрим треугольник B1DC1. Он также является прямоугольным, так как угол B1DC1 прямой. Следовательно, по теореме Пифагора, BD = √(B1D^2 + DC1^2) = √((a√2)^2 + (a√2/2)^2) = a√(5). Используя закон косинусов для треугольника BDC, получаем: cos(a) = (BD^2 + CD^2 - BC^2)/(2*BD*CD) = (a^2 * 5 + a^2 * 5 - a^2 * 10)/(4 * a^2 * 5) = 0.