Сначала вычислили сумму цифр числа, равного произведению 1 • 2 • 3
•... • 999 • 1000. Потом вычислили сумму цифр полученного числа. Так
поступали до тех пор, пока не получили однозначное число. Что это за
число?

наша задача определить число N!. Наблюдая за множителями, можно уловить тот факт, что число будет делиться в любом случае на 9, т.к. 9 входит в множители. Признак делимости на 9 - это сумма всех чисел числа должна делиться на 9. Поэтому ответ  - 9.