Угол при вершине A треугольника ABC равен 120∘. Окружность касается стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Известно, что периметр треугольника ABC равен 10, найдите расстояние от вершины A до центра окружности.

Пусть О - центр окружности. Рассмотрим ΔАВС, ∠А=120°, P Δ = 10. Требуется найти длину отрезка АО.Отметим точки касания окружности:Е - точка касания окружности и продолжения АВ,М - точка касания окружности и ВС,К - точка касания окружности и продолжения АС.По свойству отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки: ВЕ=ВМ, СМ=СК. Тогда Р ΔАВС = АВ+ВС+АС = АВ+ВМ+СМ+АС== АВ+ВЕ+АС+СК = АЕ+АК.По тому же свойству отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки: АЕ = АК.Таким образом, P ΔABC = 2AEЗначит, АЕ=АК=10:2=5Окружность с центром О является вневписанной для ΔАВС. Следовательно, ее цент лежит на биссектрисе ∠ ЕАК.АО - биссектриса ∠ ЕАК. Тогда в ΔАЕО ∠ЕАО = 60°.По свойству касательной к окружности и ее радиуса, проведенного в точку касания ОЕ⊥АЕ. Значит, ΔАОЕ - прямоугольный и ∠АОЕ=30°.Катет АЕ, лежащий против угла в 30° в 2 раза меньше гипотенузы АО.Значит АО = 2·5=10.Ответ: 10.

Данная окружность вневписанная , если X точка касания со стороной BC и Y со стороной AB , Z соответственно со стороной AC , то BY=BX , CX=CZ , го AX=AB+BY=AB=BX AZ=AC+CZ=AC+CX значит AX=AZ=P/2=10/2=5 Откуда OA=5/sin30=10 . Ответ 10 .