На собеседование пришли 65 школьников. Им предложили 3 контрольные работы. За каждую контрольную ставился один из баллов: 2, 3, 4 или 5. Верно ли, что найдутся 7 школьников с одинаковыми суммарными баллами?

Ответ: да, верно.Суммарное количество всевозможных комбинаций результатов - 10 штук (от 6=2+2+2 до 15=5+5+5). Пусть исходное утверждение неверно. Тогда можно распределить суммарные баллы между учениками так, чтобы каждую из сумм получило не более 6 учеников. Однако, в таком случае, максимально возможное количество учеников, направленных на покрытие каждой суммы таким образом, составит 6*10=60<65. Таким образом, хотя бы один из пяти оставшихся неизбежно будет 7-ым по счёту учеником, имеющим тот же результат, что и 6 других его коллег. Противоречие. Следовательно, исходное утверждение верно.