У бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма квадратов первых n членов равно сумме её первых 2n членов, а сумма кубов первых n членов в три раза меньше суммы первых 3n членов. Найти сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии.

Из условия

S=b1^2+b2^2+b3^2+...+b(n)^2=S(2n)

Или

b1^2(1+q^2+q^4+...+q^(2n-2)) = b1*(q^(2n)-1)/(q-1)

Откуда

b1^2*(q^(2n)-1)/(q^2-1) = b1*(q^(2n)-1)/(q-1)

По второму условию

3(b1^3+b2^3+b3^3+...+b(n)^3) = b1+b2+b3+...+b(3n)

Или

3b1^3(1+q^3+q^6+...+q^(3n-3)) = b1(q^(3n)-1)/(q-1)

Откуда

3b1^3*(q^(3n)-1)/(q^3-1) = b1(q^(3n)-1)/(q-1)

Система

{b1^2*(q^(2n)-1)/(q^2-1) = b1*(q^(2n)-1)/(q-1)

{3b1^3*(q^(3n)-1)/(q^3-1) = b1(q^(3n)-1)/(q-1)

Так как |q|<1

{b1^2=b1(q+1)

{3b1^3=b1(q^2+q+1)

{b1(b1-q-1)=0

{b1(3b1^2-q^2-q-1)=0

{b1=q+1

{3b1^2=q^2+q+1

3(q^2+2q+1)=q^2+q+1

2q^2+5q+2=0

q=(-5+3)/4 = -1/2 >-1

b1=-1/2+1 = 1/2

Сумма

S = (1/2)/(1+(1/2)) = 1/3