• y''-4y'+8y=(1+2x)e^x
    помогите решить

Ответы 2

  • выручили ))
  • Найдем сначала общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения

    y''-4y'+8y=0

    Пусть y=e^{\lambda x}, получим характеристическое уравнение

    \lambda^2-4\lambda+8=0~~~\Longleftrightarrow~~~~(\lambda-2)^2=-4~~\Longrightarrow~~~\lambda=2\pm2i

    Общее решение однородного дифференциального уравнения:

    y^*=e^{2x}(C_1\cos 2x+C_2\sin2x)

    Рассмотрим функцию f(x)=(1+2x)e^x, здесь полином P_n(x)=1+2x~~\Rightarrow~~ n=1 и \alpha =1. Сравнивая α с корнями характеристического уравнения и принимая во внимая, что n = 1, частное решение будем искать в виде:

    y^{**}=(Ax+B)e^x

    Вычислим первые две производные функций:

    y'=(Axe^x+Be^x)'=Ae^x+Axe^x+Be^x\\ y''=Ae^x+Ae^x+Axe^x+Be^x=2Ae^x+Be^x+Axe^x

    Подставим теперь в исходное уравнение и при этом разделим обе части уравнения на e^x, получим

    2A+B+Ax-4(A+Ax+B)+8(Ax+B)=1+2x\\ 2A+B+Ax-4A-4Ax-4B+8Ax+8B=1+2x\\ 5Ax-2A+5B=2x+1

    Приравниваем коэффициенты при степенях х:

    \displaystyle \left \{ {{-2A+5B=1} \atop {5A=2}} ight. ~~~\Longrightarrow~~~\left \{ {{B=\dfrac{9}{25}} \atop {A=\dfrac{2}{5}}} ight.

    Частное решение: y^{**}=\left(\dfrac{2}{5}x+\dfrac{9}{25}ight)e^x

    Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

    y=y^*+y^{**}=e^{2x}(C_1\cos 2x+C_2\sin2x)+\left(\dfrac{2}{5}x+\dfrac{9}{25}ight)e^x

    • Автор:

      rory10
    • 5 лет назад
    • 0
  • Добавить свой ответ

Войти через Google

или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years