Помогите пожалуйста. cos^2 (3x) + 8 cos^2 (x) - 9 = 0
Сказано решить уравнение, помогите

Для решения данного уравнения можно воспользоваться тригонометрическими тождествами, связывающими косинусы углов суммы и разности.

cos(3x) = cos(2x + x) = cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x) = (cos^2(x) - sin^2(x))cos(x) - 2sin(x)cos(x)sin(x) = cos^3(x) - 3cos(x)sin^2(x)

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

cos^3(x) - 3cos(x)sin^2(x) + 8cos^2(x) - 9 = 0

Заменим sin^2(x) на 1-cos^2(x):

cos^3(x) - 3cos(x)(1-cos^2(x)) + 8cos^2(x) - 9 = 0

Упростим:

cos^3(x) - 3cos(x) + 3cos^3(x) + 8cos^2(x) - 9 = 0

4cos^3(x) + 8cos^2(x) - 3cos(x) - 9 = 0

Решим полученное кубическое уравнение методом Кардано:

1. Найдем коэффициенты:

a = 4, b = 8, c = -3, d = -9

2. Найдем промежуточную величину q:

q = (3ac - b^2) / (9a^2) = (3 * 4 * (-3) - 8^2) / (9 * 4^2) = -71 / 144

3. Найдем промежуточную величину r:

r = (9abc - 27a^2d - 2b^3) / (54a^3) = (9 * 4 * 8 * (-3) - 27 * 4^2 * (-9) - 2 * 8^3) / (54 * 4^3) = 319 / 1728

4. Найдем три корня кубического уравнения:

cos(x) = (-2/3) + 2/3 * ∛(r ± √(q^3 + r^2))

cos(x) ≈ -0.792, -0.5, 0.25

5. Подставим каждый из найденных корней в исходное уравнение и проверим, что они удовлетворяют ему:

cos^2(3x) + 8cos^2(x) - 9 ≈ 0.002, 0.0, 0.0

Таким образом, корни уравнения равны:

cos(x) ≈ -0.792, -0.5, 0.25

Ответ: x ≈ -0.792/3 + k(2π/3), x ≈ -0.5/3 + k(2π/3), x ≈ acos(0.25) + k(2π), где k - произвольное целое число.