7/4cos(x/4)=cos^3 (x/4)+sin(x/2)

Умножим правую и левую части уравнения на число 4. Получаем:7·cos(x/4)=4·cos³ (x/4)+4·sin(x/2).Используем формулу \"синус двойного угла\" ( sin(2a) = 2 · sin(a) · cos (a) ), получаем:7·cos(x/4)=4·cos³ (x/4)+8· sin(x/4) · cos (x/4).Если x = 2π + 4π·n, где n - целые числа, это является решением уравнения.Действительно, если cos (x/4) = 0, то решением являются числа x/4 = π/2 + π·n, тогда x = 2π + 4π·n, где n - целые числа.Если cos (x/4) ≠ 0, поделим на него правую и левую части уравнения. Получаем:7 = 4·cos² (x/4)+8· sin(x/4).Используем основное тригонометрическое тождество (sin² (a) + cos² (a) = 1), тогда3+4· (sin² (x/4) + cos² (x/4)) = 4·cos² (x/4)+8· sin(x/4).Тогда:4·sin² (x/4) - 8· sin(x/4) +3 = 0. Это квадратное уравнение относительно синуса. Решаем его.D = 8² - 4 · 4·3 = 16.sin(x/4) = (8 ±√D )/(2·4) = (8±4)/8.Так как синус не может превышать единицу, остаётся вариант:sin(x/4) = (8 - 4)/8 = 1/2.Тогда x/4 = π/6 + 2π·k; где k - целые числа; или x/4 = 5π/6 + 2π·m; где m - целые числа.Умножим на 4 и получаем следующие решения исходного уравнения:x = 2π/3 + 8π·k; где k - целые числа;x = 10π/3 + 8π·m; где m - целые числа;Ответ: x = 2π + 4π·n; x = 2π/3 + 8π·k; x = 10π/3 + 8π·m; где n, m и k - целые числа.