Сколько существует таких натуральных чисел AA, что среди чисел AA, A+10A+10 и A+20A+20 ровно два четырехзначных?

   Обозначим:

     aa = x;     a+10a+10 = 11a+10 = y;     a+20a+20 = 21a+20 = z;

   Определим значения a, при которых эти числа четырехзначные:

   1) Условие четырехзначности для x:

     1000 <= х < 10000;     1000 <= aa < 10000;     10 <= a < 100;     10 <= a <= 99 (для целых значений а).

   2) Условие четырехзначности для y:

     1000 <= y < 10000;     1000 <= 11a+10 < 10000;     990 <= 11a < 9990;     90 <= a < 908,2;     90 <= a <= 908 (для целых значений а).

   3) Условие четырехзначности для z:

     1000 <= z < 10000;     1000 <= 21a+20 <= 10000;     980 <= 21a < 9980;     46,7 <= a < 475,2;     47 <= a <= 475 (для целых значений а).

   Таким образом, объединив условия четырехзначности для каждого из этих чисел, имеем: 

• 10 <= a <= 99;
• 90 <= a <= 908;
• 47 <= a <= 475.

   Для того, чтобы определить количество четырехзначных чисел для каждого значения a, рассмотрим множество целых чисел [10; 908]. Разделим это множество на следующие подмножества:

     [10; 46]; [47; 89]; [90; 99]; [100; 475]; [476; 908].

   Очевидно, что:

   для подмножеств [10; 46] и [476; 908] имеем единственное четырехзначное число: x или y;

   для подмножества [90; 99] все три числа четырехзначные: x, y и z;

   а для подмножеств [47; 89] и [100; 475] будем иметь ровно два четырехзначных числа: x и z или y и z соответственно.

   Остается только посчитать количество этих чисел:

     (89-47+1) + (475-100+1) = 43 + 376 = 419;

   Ответ: 419 чисел.