Какой цифрой оканчивается тридцать пятая степень числа 947

В данной задаче необходимо найти последнюю цифру числа P, полученного в результате произведения:

P = 947 * 947 *  … * 947,

где вместо троеточия используется столько умножений, чтобы в итоге число 947 использовалось всего 35 раз.

Перемножив два многозначных числа A = 10M + N и B = 10K + L, где N и L – цифры от 0 до 9, M и K –целые числа, получим:

AB = 10 * (10MK + ML + NK) + NL

Первое слагаемое, имея множителем число 10, оканчивается на 0. В этом случае, последняя цифра AB будет совпадать с последней цифрой NL.

В данной задаче последняя цифра числа P будет совпадать с последней цифрой 35-й степени числа 7.

Выясним, на какую цифру могут оканчиваться различные степени числа 7:

• 7^1 = 7, оканчивается на 7;
• 7^2 = 7 * 7 = 49, оканчивается на 9;
• 7^3 = 7^2 * 7, оканчивается, как и произведение 9 * 7 = 63, на цифру 3;
• 7^4 = 7^3 * 7, оканчивается, как и произведение 3 * 7 = 21, на цифру 1;
• 7^5 = 7^4 * 7, оканчивается, как и произведение 1 * 7 = 7, на цифру 7.

Видно, что пятая степень оканчивается так же, как и первая степень. Соответственно, шестая степень оканчивается так же, как и вторая, седьмая – как третья, и т.д. При каждом увеличении номера степени на 4, последняя цифра будет повторяться.

Из равенства 35 = 3 + 4*8, следует, что 35-я степень числа 7, а значит и числа P, будет оканчиваться так же, как и третья степень числа 7, на цифру 3.

Ответ: 35-я степень числа 947 оканчивается на 3

Выясним, на какую цифру оканчиваются различные степени цифры 7:

7^1 = 7, оканчивается на 7;

7^2 = 7 * 7 = 49 – на 9;

7^3 = 7^2 * 7, как и 9 * 7 = 63 – на 3;

7^4 = 7^3 * 7, как и 3 * 7 = 21 – на 1;

7^5 = 7^4 * 7, как и 1 * 7 = 7 – на 7.

Видно, при каждом увеличении номера степени на 4, последняя цифра повторяется.

Т.к. 35 = 3 + 4*8, то 35-я степень числа 7, а значит, и числа 947, будет оканчиваться так же, как и третья степень числа 7 – на цифру 3.

Ответ: 35-я степень числа 947 оканчивается на 3.