Может ли быть так,что каждое из двух чисел делится на данное число с остатком,а их сумма делится на это число без остатка?

Покажем, что такое может быть.Пусть число х делится на 5 с остатком 2, а число у делится на 5 с остатком 3.Тогда число х можно представить в виде:х = 5 * k + 2, где k — некоторое целое число,а число у можно представить в виде:у = 5 * n + 3, где n — некоторое целое число.Найдем сумму чисел х и у:х + у = 5 * k + 2 + 5 * n + 3 = 5 * k + 5 * n + 5 = 5 * (k + n + 1).Полученное выражения делится на 5, следовательно и сумма чисел х и у делится на 5 без остатка.Приведем пример:число 22 делится на 5 с остатком 2, число 33 делится на 5 с остатком 3, сумма этих чисел 22 + 33 = 55 делится на 5 без остатка.

В этой задаче нам нужно определить может ли быть так, что каждое из двух чисел делится на данное число с остатком, а их сумма делится на это число без остатка.

Это вполне возможно. Докажем для общего случая.

Доказательство

• А условии задачи дано, что два некоторых числа делятся на другое число. Например пусть даны два числа: m и n. И оба они делятся на некоторое число 3. Запишем на математическом языке. m : 3 и n : 3. Также в условии сказано, что при делении получается некоторый остаток. Например m : 3 с остатком 4, а n : 3 с остатком 5. Запишем на математическом языке: m = 3 * c + 4 и n = 3 * a + 5, c и a это некоторые числа. 
• Нам нужно доказать что сумма m и n будет делиться на 3 уже без остатка. Посчитаем сумму m и n.
• (m + n) = (3 * c + 4)  + (3 * a + 5). 
• Раскрываем скобки: 3 * c + 4 + 3 * a + 5.
• Приводим подобные слагаемые: 3 * c + 3 * a + 9.
• Вынесем общий множитель за скобку: 3 (c + a + 3).
• 3 (c + a + 3) делится на 3. Значит и наша изначальная сумма (m + n) тоже делиться на 3. 

Пример

Возьмем два числа 23 и 58. Число 23 делиться на 3 с остатком 2. Число 58 делится на 3 с остатком 1. Сложим 23 и 58. Получаем: 23 + 58 = 81. Число 81 делится на 3 без остатка и дает число 27.