Найдите наименьшее трехзначное число, у которого сумма цифр больше, чем: 1) у любого числа, которое меньше искомого 2)

   Заметим, что из второго условия задачи предполагается, что существует хотя бы одно трехзначное число, которое меньше искомого (в противном случае, подошло бы число 100). Поскольку наименьшим трехзначным числом является число 100, то очевидно, что этому условию удовлетворяет число 101, сумма цифр которого больше, чем сумма цифр единственного трехзначного числа, меньшего 101, т.е. числа 100:

   1 + 0 + 1 = 2;

   1 + 0 + 0 = 1;

   2 > 1.

   Рассматривая искомое число, мы должны сравнивать сумму его цифр:

1. с единственной цифрой любого однозначного числа;
2. с суммой цифр любого двузначного числа;
3. с суммой цифр любого трехзначного числа, которое меньше искомого.

   Сначала найдем наименьшее трехзначное число, удовлетворяющее первому и второму условиям.

   Ясно, что среди однозначных и двузначных чисел наибольшую сумму цифр имеет число 99:

      9 + 9 = 18.

   Тем самым, чтобы трехзначное число было наименьшим, старший разряд этого числа должен быть 1, а сумма его цифр должна равняться 19. Очевидно, что этому условию удовлетворяет число 199.

   Проверим, удовлетворяет ли число 199 третьему условию?

   Любое трехзначное число, которое меньше 199, в старшем разряде имеет единицу, а хотя бы одна из двух остальных цифр меньше 9. Следовательно, сумма цифр у этих чисел будет меньше 19. Таким образом, число 199 удовлетворяет и третьему условию.

Ответ: 1) 101; 2) 199.