Cos9x-cos7x+cos3x-cosx=0

    Для решения этого уравнения выполним следующее:

1. сгруппируем одночлены;
2. применим формулы разности тригонометрических функций и двойного аргумента;
3. вынесем общий множитель за скобки;
4. приравняем к нулю и решим полученные уравнения.

Выполним группировку

    Для удобства вычислений сгруппируем множители с максимальным и минимальным числовыми коэффициентами, и множители со средними по значению коэффициентами, перенесём из в разные части уравнения:

cos9x - cos7x + cos3x - cosx=0,

cos9x - cosx = cos7x - cos3x.

Применим формулу суммы тригонометрических функций

   На этом этапе воспользуемся формулой разности косинусов:

cosа - cosb = -2sin(a+b)/2*sin(a-b)/2.

   Запишем уравнение в виде:

-2sin(9x + x)/2*sin(9x - x)/2 = -2sin(7x + 3x)/2*sin(7x - 3x)/2,

-2sin5x*sin4x = -2sin5x*sin2x.

- 2sin5x*sin4x + 2sin5x*sin2x = 0.

Вынесем за скобки общий множитель

  Перенесли все члены уравнения в левую часть. Вынесем за скобки -2sin5x как общий множитель:

-2sin5x*(sin4x + sin2x) = 0. 

Решим два уравнения

1) -2sin5x = 0,

sin5x = 0,

5x = пk, k е Z;

x = пk/5 , k e Z.

2) sin4x + sin2x = 0,

    Для выражения sin4x используем формулу двойного аргумента:

sin2x = 2sinxcosx. 

   То есть sin4x запишем как 2sin2xcos2x:

2sin2xcos2x + sin2x = 0,

sin2x*(2cos2x + 1) = 0.

Приравняем к 0 и решим два уравнения

1) sin2x = 0,

2x = пk, k e Z;

x = пk/2, k e Z.

2) 2cos2x + 1 = 0,

2cos2x = -1,

cos2x = -1/2,

2x = +-п/3 + 2пk, k e Z;

x = +- п/6 + пk, k e Z.

Ответ: x1 = пk/5 , k e Z; х2 = пk/2, k e Z; х3 = +- п/6 + пk, k e Z.

Решение:1. Применим к данному уравнению формулу преобразования тригонометрических выражений: (-2) * sin(8x) * sin(x) + sin(2x) * sin(x) = 0.2. Выведем за скобки sin(x): sin(x) * (sin(8x) + sin(2x)) = 0.Если произведение равно нулю, значит, один из множителей должен быть равен нулю. Следовательно:sin(x) = 0, тогда x1 = П * n, где n – целое число.sin(8x) + sin(2x) = 0. Применим к данному уравнению формулу преобразования тригонометрических выражений: 2 * sin(5x) * cos(3x) = 0; sin(5x) * cos(3x) = 0.Если произведение равно нулю, значит, один из множителей должен быть равен нулю. Следовательно:sin(5x) = 0, тогда x2 = П * n / 5, где n – целое число.cos(3x) = 0, тогда x3 = П / 6 + П * n / 3, где n – целое число.Ответ: x1 = П * n, x2 = П * n / 5, x3 = П / 6 + П * n / 3, где n – целое число.