Решите уравнение |х ─ 1|+|х ─ 3|+|х ─ 7| = 6.

В этой задаче вам необходимо решить уравнение с модулями:

|х ─ 1|+|х ─ 3|+|х ─ 7| = 6.

Разбиение области возможных значений х на промежутки

Как известно, |a| = a, если а >= 0 и  |a| = - a, если а < 0.

Таким образом, чтобы избавиться от знака модуля в уравнении, необходимо разбить область возможных значений х на промежутки, в которых знак подмодульных выражений одинаков.

В данном уравнении имеется три подмудульных выражения:

• х ─ 1;
• х ─ 3;
• х ─ 7.

Очевидно,

• х ─ 1 >= 0 при х >= 1;
• х ─ 3 >= 0 при х >= 3;
• х ─ 7 >= 0 при х >= 7.

Таким образом, область возможных значений х разбивается на 4 промежутка:

• (- ∞; 1);
• [1; 3);
• [3; 7);
• [7; + ∞).

Решение уравнения на промежутках

1. Раскроем скобки при условии что х∈(- ∞; 1):

- (х ─ 1) - (х ─ 3) - (х ─ 7) = 6;

- 3х + 11 = 6;

- 3х = 6 - 11;

х = 5/3.

Найденное решение линейного уравнения не принадлежит промежутку (- ∞; 1), поэтому оно не является решением уравнения с модулем.

2. Раскроем скобки при условии что х∈[1; 3);

(х ─ 1) - (х ─ 3) - (х ─ 7) = 6;

- х + 9 = 6;

х = 3.

Найденное решение линейного уравнения не принадлежит промежутку [1; 3), поэтому оно не является решением уравнения с модулем.

3. Раскроем скобки при условии что х∈[3; 7);

(х ─ 1) + (х ─ 3) - (х ─ 7) = 6;

х + 3 = 6;

х = 3.

Найденное решение линейного уравнения принадлежит промежутку [3; 7), поэтому оно является решением уравнения с модулем.

4. Раскроем скобки при условии что х∈[7; + ∞).

(х ─ 1) + (х ─ 3) + (х ─ 7) = 6;

3х - 11 = 6;

3х = 17;

х = 17/3.

Найденное решение линейного уравнения не принадлежит промежутку [7; + ∞), поэтому оно не является решением уравнения с модулем.

Ответ: 3.

Находим критические точки: 1, 3, 7Рассматриваем 4 интервала, и раскрываем каждый модуль на данном интервале по правилу раскрытия модулей:1. х < 1,1 - х + 3 - х + 7 - х = 6,5 = 3х,х = 5/3 - не входит в данный интервал2. 1 ≤ x < 3,х - 1 + 3 - х +7 - х = 6,х = 3 - не входит в данный интервал3. 3 ≤ x < 7,х - 1 + х - 3 + 7 - х = 6,х = 3 - корень4. х ≥ 7,х - 1 + х - 3 + х - 7 = 6,х = 17/3 - не входит в данный интервалОтвет: х = 3