Найдите сумму натуральных чисел меньше 102 и кратных 4

Для решения данного задания, вспомним, что кратное число — это число делящееся на данное без остатка. Число n называется кратным некоторому натуральному числу p, если оно нацело делится на p . При этом говорят что n кратно p. Вычислим сумму чисел меньше 102 и кратных 4.4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 28 + 32 + 36 + 40 + 44 + 48 + 52 + 56 + 60 + 64 + 68 + 72 + 76 + 80 + 84 + 88 + 92 + 96 + 100 = 1300.Ответ: 1300.

Решим данную задачу, используя понятие арифметической прогрессии.

Для этого:

• покажем, натуральные числа,  кратные 4 образуют возрастающую арифметическую прогрессию;
• найдем первый член и разность этой арифметической прогрессии;
• вычислим количество членов данной прогрессии, меньших чем 102;
• найдем сумму всех членов данной прогрессии, меньших чем 102.

Решение задачи.

Покажем, натуральные числа,  кратные 4 образуют возрастающую арифметическую прогрессию

Согласно определению, каждый член арифметической прогрессии является суммой предыдущего члена этой прогрессии и некоторого постоянного для всей прогрессии числа d, называемого разностью арифметической прогрессии.

Каждое натуральное число, кратное 4 можно представить в виде 4n, где n — некоторое целое число.

Рассмотрим последовательность натуральных чисел аn вида а_n = 4n.

Выразим n+1-й член данной последовательности через n-й:

а_n+1 = 4 * (n + 1) = 4n + 4 = а_n + 4.

Следовательно, каждый член данной последовательности является суммой предыдущего члена этой последовательности и числа 4, а значит, данная последовательность является возрастающей арифметической прогрессией с разностью d = 4.

Найдем, чему равен первый член данной последовательности:

а₁ = 4 * 1 = 4.

Вычислим количество членов данной прогрессии, меньших чем 102

Найдем первый член данной последовательности, больший или равный 102.

Для этого решим в целых числах неравенство:

4n > 102.

Разделив обе части неравенства на 4, получаем:

4n / 4 > 102 / 4;

n > 102/4;

n > 51/2;

n > 25 1/2.

Наименьшее целое решение данного неравенства это n = 26.

Следовательно, 26-й член данной прогрессии является первым ее членом, большим или равным 102.

Поскольку данная прогрессия возрастает, то члены этой прогрессии с первого по 25-й будут меньшими, чем 102, а все члены этой прогрессии начиная с 26-го будут большими, чем 102.

Найдем сумму 25-ти первых членов данной прогрессии

Подставляя в формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn = (2 * а₁ + d * (n - 1)) * n / 2 значения а₁ = 4, d = 4, n = 25, получаем:

S₂₅ = (2 * а₁ + d * (25 - 1)) * 25 / 2 = (2 * а₁ + d * 24) * 25 / 2 = 2 * (а₁ + d * 12) * 25 / 2 = (а₁ + d * 12) * 25 = (4 + 4 * 12) * 25 = (4 + 48) * 25 = 52 * 25 = 1300.

Ответ: искомая сумма равна 1300.