Cколько существует квадратных трехчленов (т.е. многочленов степени два) с целыми коэффицентами, принимающих на отрезке

РешениеПусть f(x) = ax2 + bx + c. По условию | f(0)| ≤ 1, | f(1/2)| ≤ 1, | f(1)| ≤ 1, то есть |c| ≤ 1, |a + 2b + 4c| ≤ 4, |a + b + c| ≤ 1. Отсюда|a| = |2(a + b + c) − (a + 2b + 4c) + 2c| ≤ 2|a + b + c| + |a + 2b + 4c| + 2|c| ≤ 8,|b| = |(a + 2b + 4c) − 3c − (a + b + c)| ≤ |a + 2b + 4c| + 3|c| + |a + b + c| ≤ 8.Следовательно, |a| + |b| + |c| ≤ 8 + 8 + 1 = 17.

  Условие нахождения графика функции в указанной области

   Вычислим производную:

      y(x) = ax² + bx + c;

      y\'(x) = 2ax + b.

   Определим значения y(x) и y\'(x) в точках 0 и 1:

      y(0) = c; y(1) = a + b + c;

      y\'(0) = b; y\'(1) = 2a + b.

   По условию задачи имеем:

      {0 ≤ y(0) ≤ 1      {0 ≤ y(1) ≤ 1

   Поскольку ищем многочлены только с целыми коэффициентами, то:

      y(0) = 0 или y(0) = 1;

      y(1) = 0 или y(1) = 1.

   Чтобы график функции лежал в указанной области, значение производной в этих точках должно удовлетворять условиям:

      {y(0) = 0      {y\'(0) ≥ 0      {y(0) = 1      {y\'(0) ≤ 0

      {y(1) = 0      {y\'(1) ≤ 0      {y(1) = 1      {y\'(1) ≥ 0

   Следовательно, возможны 4 случая:

1. y(0) = 0; y(1) = 0;
2. y(0) = 0; y(1) = 1;
3. y(0) = 1; y(1) = 0;
4. y(0) = 1; y(1) = 1.

  Вычисление коэффициентов многочлена   

   Рассмотрим каждый случай в отдельности.

   1) y(0) = 0; y(1) = 0;

      {y(0) = 0      {y\'(0) ≥ 0      {y(1) = 0      {y\'(1) ≤ 0

      {c = 0      {b ≥ 0      {a + b + c = 0      {2a + b ≤ 0

      {c = 0      {b ≥ 0      {a + b = 0      {a ≤ 0

      [c = 0; a = 0; b = 0       [c = 0; a ≤ -1; b = -a

   В первом случае функция не имеет вторую степень. Во втором случае получим параболу, проходящую через точки (0; 0) и (1; 0), ветви которой направлены вниз. Поэтому нужно лишь проверить, чтобы значение ординаты вершины параболы было не больше 1:

      y(1/2) = a * (1/2)² + b * (1/2) = a/4 + b/2 = a/4 - a/2 = -a/4;

      y(1/2) ≤ 1;

      -a/4 ≤ 1;

      a ≥ -4;

      (a; b; c) = (-4; 4; 0) ∪ (-3; 3; 0) ∪ (-2; 2; 0) ∪ (-1; 1; 0).

   2) y(0) = 0; y(1) = 1;

      {y(0) = 0      {y\'(0) ≥ 0      {y(1) = 1      {y\'(1) ≥ 0

      {c = 0      {b ≥ 0      {a + b + c = 1      {2a + b ≥ 0

      {c = 0      {b ≥ 0      {a + b = 1      {a ≥ -1

      [c = 0; b = 0; a = 1      [c = 0; b = 1; a = 0      [c = 0; b = 2; a = -1

   Если a = 0 исключить, то

      (a; b; c) = (1; 0; 0) ∪ (-1; 2; 0).

   3) y(0) = 1; y(1) = 0;

      {y(0) = 1      {y\'(0) ≤ 0      {y(1) = 0      {y\'(1) ≤ 0

      {c = 1      {b ≤ 0      {a + b + c = 0      {2a + b ≤ 0

      {c = 1      {b ≤ 0      {a + b = -1      {a ≤ 1

      [c = 1; b = 0; a = -1      [c = 1; b = -1; a = 0      [c = 1; b = -2; a = 1

   Если a = 0 исключить, то

      (a; b; c) = (-1; 0; 1) ∪ (1; -2; 1).

   4) y(0) = 1; y(1) = 1;

      {y(0) = 1      {y\'(0) ≤ 0      {y(1) = 1      {y\'(1) ≥ 0

      {c = 1      {b ≤ 0      {a + b + c = 1      {2a + b ≥ 0

      {c = 1      {b ≤ 0      {a + b = 0      {a ≥ 0

      [c = 1; a = 0; b = 0       [c = 0; a ≥ 1; b = -a

   В первом случае функция не имеет вторую степень. Во втором случае получим параболу, проходящую через точки (0; 1) и (1; 1), ветви которой направлены вверх. Поэтому нужно лишь проверить, чтобы значение ординаты вершины параболы было не меньше нуля:

      y(1/2) = a * (1/2)² + b * (1/2) + с = a/4 + b/2 + 1 = a/4 - a/2 + 1 = -a/4 + 1;

      y(1/2) ≥ 0;

      -a/4 + 1 ≥ 0;

      a ≤ 4;

      (a; b; c) = (1; -1; 1) ∪ (2; -2; 1) ∪ (3; -3; 1) ∪ (4; -4; 1).

   Таким образом, имеем всего 12 решений:

      (-4; 4; 0) ∪ (-3; 3; 0) ∪ (-2; 2; 0) ∪ (-1; 1; 0);

      (1; 0; 0) ∪ (-1; 2; 0);

      (-1; 0; 1) ∪ (1; -2; 1);

      (1; -1; 1) ∪ (2; -2; 1) ∪ (3; -3; 1) ∪ (4; -4; 1).

   Ответ: 12 многочленов степени 2, а из них 5 являются полными трехчленами.