Найдите область значения функции y=3-2cosx

Найдем область значения функции y = 3 - 2 * cos x.Областью значения функции cos x является промежуток [- 1; 1]. Тогда получаем:- 1 < = cos x < = 1;- 1 * 2 < = 2 * cos x < = 1 * 2;- 2 < = 2 * cos x < = 2;- 2 * (- 1) > = - 2 * cos x > = 2 * (- 1);2 > = - 2 * cos x > = - 2;- 2 < = - 2 * cos x < = 2;- 2 + 3 < = 3 - 2 * cos x < = 2 + 3;1 < = 3 - 2 * cos x < = 5;1 < = y < = 5;Значит, областью значения функции y = 3 - 2 * cos x является промежуток [1; 5];Ответ: область значения функции y = 3 - 2 * cos x равен [1; 5].

  Область значений функции cosx

   Функция cosx - четная и периодическая функция. Период функции 2π и в каждой четверти координатной плоскости меняет свое значение следующим образом:

• 1-я четверть: [0; π/2] - от 1 до 0;
• 2-я четверть: [π/2; π] - от 0 до -1;
• 3-я четверть: [π; 3π/2] - от -1 до 0;
• 4-я четверть: [3π/2; 2π] - от 0 до 1.

   Если нет никаких ограничений на аргумент функции, т. е. переменная x может принимать любое действительное значение:

      x ∈ R,

то областью значений функции cosx будет промежуток [-1; 1], или записав в виде двойного неравенства: 

      -1 ≤ cosx ≤ 1. (1)

  Область значений заданной функции

   Если умножим двойное неравенство (1) на -2, при этом изменив знаки неравенства на противоположное значение, то получим:

      2 ≥ -2 * cosx ≥ -2, или записав в привычном виде:

      -2 ≤ -2 * cosx ≤ 2. (2)

   Затем прибавим ко всем частям неравенства (2) число 3:

      3 - 2 ≤ 3 - 2 * cosx ≤ 3 + 2;

      1 ≤ 3 - 2 * cosx ≤ 5. (3)

   Неравенство (3) показывает, что исходная функция меняется в пределах от 1 до 5, а это и есть область значений функции, т. е. промежуток [1; 5].

   Ответ: [1; 5].