Cosx*tgx+cosx+tgx+1=0

tg x = sin x / cos x - подставляем в исходное выражение:cos x * sin x / cos x + cos x + sin x / cos x + 1 = 0sin x + cos x + sin x / cos x + 1 = 0 Приводим к общему знаменателю:sin x * cos x + cos^2 x + sin x + cos x = 0Группируем 1 и 2 слагаемое и выносим за скобки cos x :cos x * (sin x + cos x) + (sin x + cos x) = 0(sin x + cos x) * (cos x + 1) = 0Равенство имеет решение, когда:1. sin x = -cos x,х = -П / 4 + Пn2. cos x = -1,x = П +2Пn

   Решите уравнение:

      cosx * tgx + cosx + tgx + 1 = 0.

  Допустимые значения переменной

   Прежде чем решить уравнение, следует найти допустимые значения переменной х, что в данном примере означает найти область определения функций cosx и tgx:

   функция cosx определена при любом значении x, поэтому x ∈ Z;

   функция tgx определена, когда cosx ≠ 0, следовательно, x ≠ π / 2 + π * k, k ∈ Z.

   Таким образом, допустимые значения переменной:

      x ≠ π / 2 + π * k, k ∈ Z. 

  Разложение на множители левой части уравнения

   Выделим общий множитель cosx:

      cosx * tgx + cosx + tgx + 1 = 0;

      cosx * (tgx + 1) + (tgx + 1) = 0.

   Выделим общий множитель tgx + 1:

      (tgx + 1) * (cosx + 1) = 0.

  Решение двух независимых уравнений

   Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

      [tgx + 1 = 0      [cosx + 1 = 0

      [tgx = -1      [cosx = -1

   Решим каждое уравнение в отдельности:

   1) Функция tgx принимает значение -1, когда синус и косинус равны по величине, но противоположны по знаку:

• tgx = -1;
• x = -π /4 + π * k,
• где к - целое число.

   2) Функция cosx принимает значение -1, при x = π, с периодом 2 * π:

• cosx = -1;
• x = π + 2 * π * k,
• где к - целое число.

   Оба решения входят в область допустимых значений переменной x, поэтому объединение этих корней и будет  решением для исходного уравнения.

   Ответ: -π /4 + π * k; π + 2 * π * k, к ∈ Z.