Какое из чисел больше 3+ √(8 ) или √7+ √10 ?

Для того, чтобы определить какое из выражений 3 + √(8) или √7+ √10 больше, возведем обе выражения в квадрат и определим большее значение. То есть получаем:3 + √(8) или √7+ √10;(3 + √(8)) ^ 2 или (√7+ √10) ^ 2;3 ^ 2 + 2 * 3 * √8 + (√8) ^ 2 или (√7) ^ 2 + 2 * √7 * √10 + (√10) ^ 2;9 + 8 + 6 * √8 или 7 + 10 + √77;17 + 6 * √8 или 17 + √77;17 + √(36 * 8) или 17 + √77;17 + √288 или 17 + √77;Отсюда получим: 17 + √288 > 17 + √77;В итоге получили, что 3 + √(8) > √7+ √10;Ответ: 3 + √(8) > √7+ √10.

Эту задачу можно решить двумя способами: при помощи метода вычисления приближенного значения при помощи дифференциала и возведением в квадрат обоих значений.

Вычисление приближенного значения с помощью дифференциала

Для того, чтобы высчитать приближенное значение, нужно сделать следующие действия:

• Определить приращение значения (на сколько единиц наша функция отличается от дифференцируемого значения, то есть такого, из которого функция хорошо высчитывается);
• найти производную функции;
• найти производную от дифференцируемого значения;
• подставить все данные в формулу f(x₀ + Δx) = f(x₀) + f`(x₀) * Δxгде (x₀ + Δx) - это значение числа с его приращением, Δx - приращение.

Высчитаем значение выражений (3 + √8) и (√7 + √10).

1) √8

Примем за х₀ число 9 (из него вычисляется квадратный корень)

х₀ = 9

Δx = 8 - 9 = - 1

f(x) = √x = x^1/2

f`(x) = 1/2 * (х)^{1/2 - 1} = 1/2 * х^-1/2 = 1/(2х^1/2) = 1/(2√x)

f`(9) = 1/(2√9) = 1/6

√8 = √9 + 1/6 * (- 1) = 3 - 1/6 = 2 5/6

2) √7 

Примем за х₀ число 9 (из него вычисляется квадратный корень)

х₀ = 9

Δx = 7 - 9 = - 2

f(x) = √x = x^1/2

f`(x) = 1/(2√x)

f`(9) = 1/(2√9) = 1/6

√7 = √9 + 1/6 * (- 2) = 3 - 2/6 = 3 - 1/3 = 2 2/3

3) √10

Примем за х₀ число 9 (из него вычисляется квадратный корень)

х₀ = 9

Δx = 10 - 9 = 1

f(x) = √x = x^1/2

f`(x) = 1/(2√x)

f`(9) = 1/(2√9) = 1/6

√7 = √9 + 1/6 * (1) = 3 + 1/6 = 3 1/6

4) Поэтому 3 + √8 ~ 3 + 2 5/6 = 5 5/6

√7 + √10 ~ 2 2/3 + 3 1/6 = 5 5/6

Получается, выражения (3 + √8) и (√7 + √10) приближенно равны.

Возведем в квадрат оба выражения

(3 + √8)² = 3² + 2 * 3 * √8 + (√8)² = 9 + 6√8 + 8 = 17 + 6√8

(√7 + √10)² = (√7)² + 2 * √7 * √10 + (√10)² = 7 + 2√70 + 10 = 17 + 2√70

Нужно сравнить 6√8 и 2√70, для этого внесем 6 и 2 под знак корня.

6√8 = √(36 * 8) = √288 

2√70 = √(4 * 70) = √280

Значит, (17 + 6√8) больше (17 + 2√70).

Ответ: (3 + √8) > (√7 + √10)