Решите неравенство (х+2)(х-5)>0

(x + 2)(x - 5) > 0

Это неравенство с квадратичной функцией. Докажем это.

х² + 2х - 5х - 10 > 0

х² - 3х - 10 > 0

у = х² - 3х - 10 (это квадратичная функция)

Решение неравенства с квадратичной функцией

1. Нужно рассмотреть квадратичную функцию, определить направление ветвей параболы;
2. Найти нули функции (точки пересечения с осью х);
3. С помощью числовой прямой определить знаки функции на каждом промежутке;
4. По знаку неравенства выбрать нужные промежутки, которые и будут решением неравенства.

Рассмотрим данное неравенство.

х² - 3х - 10  > 0

у = х² - 3х - 10 Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх (перед х² стоит положительный коэффициент).

Найдем нули функции

В точках пересечения с осью х значение функции равно 0.

Приравниваем функцию к нулю.

х² - 3х - 10 = 0

Или (x + 2)(x - 5) = 0

Корни данного уравнения х = - 2 и х = 5

Решим неравенство с помощью числовой прямой

Рисуем числовую прямую, отмечаем точки - 2 и 5, обводим их в кружок (выкалываем точки, потому что неравенство строгое), схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки, ветви параболы смотрят вверх.

Так как (x + 2)(x - 5) > 0, то нам нужен участок прямой, где функция принимает положительные значения (то есть парабола находится выше числовой прямой). Глядя на рисунок, понимаем, что это промежутки (-бесконечность; - 2) и (5; + бесконечность). Скобки ставим круглые, потому что неравенство строгое, числа - 2 и 5 не входят в промежуток.

Ответ: х принадлежит промежуткам(-бесконечность; - 2) и (5; + бесконечность).

При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения. Раскроем скобки, получим:(х + 2) (х - 5) > 0;х2 - 5х + 2х - 10 > 0;х2 - 3х - 10 > 0;х2 - 3х - 10 = 0;D = 9 - 4 * ( -10) = 49, D > 0.x1 = (3 - 7) / 2 = - 4 / 2 = - 2;x2 = (3 + 7) / 2 = 10 / 2 = 5;Графиком функции является парабола, направленная ветвями вверх. Нам нужны промежутки > 0, следовательно х ∈ ( - ∞ ; - 2) ∪ (5 ; + ∞).