Найдите все значения а,при которых уравнение не имеет решений a(x^2+x^-2)-(a+1)(x+x^-1)+5=0

   A. Перепишем отрицательные степени в виде дроби:

      a(x^2 + x^(-2)) - (a + 1)(x + x^(-1)) + 5 = 0;

      a(x^2 + 1/x^2) - (a + 1)(x + 1/x) + 5 = 0. (1)

   B. Обозначим:

      y = x + 1/x;

      x^2 - yx + 1 = 0; (2)

      D = y^2 - 4.

   Нет решений при D < 0;

      y^2 - 4 < 0;

      y^2 < 4;

      y ∈ (-2; 2). (3)

   При этих значениях \'y\' уравнение (1) не имеет решений.

   C. Вычислим y^2:

      y^2 = (x + 1/x) = x^2 + 2 + 1/x^2.

   Следовательно,

      x^2 + 1/x^2 = y^2 - 2.

   D. Подставим значения этих выражений в уравнение (1):

      a(y^2 - 2) - (a + 1)y + 5 = 0;

      ay^2 - (a + 1)y - (2a - 5) = 0. (4)

   E. Рассмотрим два случая:   1. a = 0.

      -y + 5 = 0;

      y = 5.

   При a = 0 уравнение (4) имеет единственное решение y = 5, не принадлежащее промежутку (3), следовательно, в этом случае уравнение (1) имеет решение.

   2. a ≠ 0.

   Для ясности, сначала определим значения a, при которых  уравнение (4) имеет решение. На промежутках (-∞; -2] ∪ [2; ∞) уравнение (4) будет иметь решение, если дискриминант неотрицателен, а наиболее отдаленный от нуля корень находится на расстоянии не меньше чем на 2.

   Рассмотрим общее квадратное уравнение:

      Ax^2 + Bx + C = 0, где A = a; B = -(a + 1); C = -(2a - 5).

      {D ≥ 0;      {|B / 2A| + |√D / 2A| ≥ 2.

   Подставив значения A, B и C в эти уравнения, найдем значения a (кроме нуля), при которых уравнение (1) имеет решение:

   2.1. D ≥ 0.

      D = (a + 1)^2 + 4a(2a - 5);

      D = 9(a - 1)^2 - 8;

      9(a - 1)^2 - 8 ≥ 0;

      (a - 1)^2 ≥ 8/9;

      a - 1 ∈ (-∞; -√8/3] ∪ [√8/3; ∞);

      a ∈ (-∞; 1 - √8/3] ∪ [1 + √8/3; ∞].

   2.2. |B / 2A| + |√D / 2A| ≥ 2.

      |B| + √D  ≥ 4|A|;

      √D  ≥ 4|A| - |B|;

      [4|A| - |B| ≤ 0;      [D ≥ (4|A| - |B|)^2;

      [4|A| ≤ |B|;      [B^2 - 4AC  ≥ 16A^2 - 8|AB| + B^2;

      [4|A| ≤ |B|;      [4A^2 - 2|AB| + AC  ≤ 0.

   Подставим значения A, B и С:

      [4|a|  ≤ |a + 1|;      [4a^2 - 2|a(a + 1)| - a(2a - 5) ≤ 0;

      [4|a|  ≤ |a + 1|;      [2a^2 - 2|a(a + 1)| + 5 ≤ 0.

 

   2.2.1. 4|a| ≤ |a + 1|.

   2.2.1.1. a ∈ (-∞; -1).

      -4a ≤ - a - 1;

      3a ≥ 1;

      a ≥ 1/3.

   Нет решений.

   2.2.1.2. a ∈ [-1; 0].

      -4a ≤ a + 1;

      5a ≥ -1;

      a ≥ -1/5;

      a ∈ [-1/5; 0].

   2.2.1.3. a ∈ (0; ∞).

      4a ≤ a + 1;

      3a ≤ 1;

      a ≤ 1/3;

      a ∈ (0; 1/3].

   Для трех случаев 2.2.1.1, 2.2.1.2 и 2.2.1.3 получим:

      a ∈ [-1/5; 1/3].

   2.2.2. 2a^2 - 2|a(a + 1)| + 5 ≤ 0.

   2.2.2.1. a ∈ (-∞; -1) ∪ (0; ∞).

      2a^2 - 2(a^2 + a) + 5 ≤ 0;

      -2a + 5 ≤ 0;

      a ≥ 5/2;

      a ∈ [5/2; ∞).

   2.2.2.2. a ∈ [-1; 0].

      2a^2 + 2(a^2 + a) + 5 ≤ 0;

      4a^2 + 2a + 5 ≤ 0;

      D = 2^2 - 4 * 4 * 5 = -76 < 0.

   Коэффициент при a^2 больше нуля, поэтому неравенство не имеет решений.

   Для двух случаев 2.2.2.1 и 2.2.2.2 получим:

      a ∈ [5/2; ∞).

   2.2.3. Объединение множеств решений в пунктах 2.2.1 и 2.2.2:

      [a ∈ [-1/5; 1/3];      [a ∈ [5/2; ∞);

      a ∈ [-1/5; 1/3] ∪ [5/2; ∞).

   2.3. Пересечение множеств решений в пунктах 2.1 и 2.2:

      {a ∈ (-∞; 1 - √8/3] ∪ [1 + √8/3; ∞];      {a ∈ [-1/5; 1/3] ∪ [5/2; ∞).

      a ∈ [-1/5; 1 - √8/3] ∪ [5/2; ∞). (5)

   Поскольку в пункте 1 выяснили, что при a = 0 уравнение (1) имеет решение, то в итоге получим, что уравнение имеет решение на промежутках (5). Следовательно, уравнение не имеет решений при значениях параметра:

      a ∈ (-∞; -1/5) ∪ (1 - √8/3; 5/2).

   Ответ: (-∞; -1/5) ∪ (1 - √8/3; 5/2).

a(x² + x^-2) - (a + 1)(x + x^-1) + 5 = 0

Попробуем представить данное уравнение в виде квадратного уравнения

Квадратное уравнение имеет вид ах² + вх + с = 0.

Если бы вместо (x² + x^-2) стояла скобка в квадрате, то наше уравнение было бы квадратным.

Предположим, что (x² + x^-2) равно (x + x^-1)².

• Раскроем скобку по формуле квадрата суммы (x + x^-1)²  = х² + 2 * х * х^-1 + (х^-1)² = х² + 2 + х^-2
• то есть (x + x^-1)² = (x² + x^-2) + 2
• другими словами, скобка (x² + x^-2) = (x + x^-1)² - 2

Производим замену

а((x + x^-1)² - 2) - (a + 1)(x + x^-1) + 5 = 0

а(x + x^-1)² - 2а - (a + 1)(x + x^-1) + 5 = 0

а(x + x^-1)² - (a + 1)(x + x^-1) + 5 - 2а = 0

Пусть (x + x^-1) = у

Получилось квадратное уравнение.

ау² - (а + 1)у + (5 - 2а) = 0

По условию, данное выражение не имеет корней, то есть дискриминант меньше нуля.

Выразим дискриминант.

D = (а + 1)² - 4 * а * (5 - 2а) = (а² + 2а + 1²) - 4а(5 - 2а) = а² + 2а + 1 - 20а + 8а² =  9а² - 18а + 1

Получается неравенство 9а² - 18а + 1 < 0

Найдем корни данного квадратного многочлена.

 9а² - 18а + 1 = 0 (квадратичная функция, ветви вверх)

D = 18² - 4 * 9 = 324 - 36 = 288

а₁ = (18 + кв.корень из 288)/18 = 1 + (12*кв.корень из 2) (~16,6)

а₂ = (18 - кв.корень из 288)/18 = 1 - (12*кв.корень из 2) (~ -14,6)

Расположив данные значения на координатной прямой, найдем решение неравенства.

Функция < 0 на промежутке от 1 - (12*кв.корень из 2) до 1 + (12*кв.корень из 2).

Ответ: выражение a(x² + x^-2) - (a + 1)(x + x^-1) + 5 = 0 не имеет корней при а, принадлежащему промежутку (1 - (12*кв.корень из 2); 1 + (12*кв.корень из 2)).