1. Решите уравнение 5^(2x-1)+5^(x+1)=250. Если получится 2 корня, то в ответе запишите их произведение. 2. Укажите число

Решим уравнение  5 ^ (2 * x - 1) + 5 ^ (x + 1) = 250. Если получится 2 корня, то в ответе запишите их произведение 

5 ^ (2 * x - 1) + 5 ^ (x + 1) = 250;

5 ^ (2 * x) * 5 ^ (- 1) + 5 ^ x * 5 ^ 1 = 250;

5 ^ (2 * x) * 1/5 + 5 * 5  ^ x = 250;

5 * 2 ^ x + 25 * 5  ^ x = 250 * 5;

(5 ^ x) ^ 2 + 25 * 5 ^ x = 1250;

Перенесем все значения выражения на одну сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем:

(5 ^ x) ^ 2 + 25 * 5 ^ x – 1250 = 0;

Пусть 5 ^ x = a, тогда получим: 

a ^ 2 + 2 5 *a – 1250  = 0;

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b ²  -  4 * a * c  =  25 ²  -  4 · 1 · (- 1250)  =  625 + 5000  =  5625; 

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

a₁ = (- 25 - √5625)/(2 · 1) = (- 25 – 75)/2 = - 100/2 = - 50;

a₂ = (- 25 + √5625)/(2 · 1)  = (- 25 + 75)/2 = 50/2 = 25;

Найдем корни уравнения:

1. 5 ^ x = - 50 – уравнение не имеет корней;
2. 5 ^ x = 25, 5 ^ x = 5 ^ 2, x = 2;
3. Так как, уравнение имеет один корень, то в ответе записываем х = 2.

Отсюда получили, что уравнение 5 ^ (2 * x - 1) + 5 ^ (x + 1) = 250 имеет один корень х = 2.

Найдем  число корней уравнения (2 ^ x ^ 2 – 32) *  √(3 - х) = 0  

Приравняем  каждое выражение к 0 и найдем корни уравнения:

{ 2 ^ x ^ 2 – 32 = 0;

√(3 - х) = 0;

{ 2 ^ x ^ 2 – 32 = 0;

3 - х = 0;

Известные значения переносим на одну сторону, а неизвестные на другую сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем:

{ 2  ^ x ^ 2 = 32;

- x = - 3;

{ 2 ^ x ^ 2 = 2 ^ 5;

x = 3;

{ x ^ 2 = 5;

x = 3;

Отсюда получили, что уравнение имеет 3 корня: э

1. x = √5;
2. x = - √5;
3. x = 3.

1 )Распишем более подробно степени :5^( 2 * x - 1 ) +5^( x + 1 ) = 250 ;( 5^( - 1 ) ) * ( 5^x ) * ( 5^x ) + 5 * ( 5^x ) = 250 .Обозначим 5^x = y , тогда:( 1/5 ) * y^2 + 5 * y - 250 = 0 .Это квадратное уравнение. Решим его:D = 25 - 4 * ( 1/5 ) * ( - 250 ) = 25 + 200 = 225 = 15^2 ;y = ( - 5 ± 15 ) : ( 2/5 ) = ( - 5 ± 15 ) * ( 5/2 ) ;y = - 50 или y = 25 .Первый вариант не удовлетворяет области допустимых значений функции y = 5^x .Во втором случае получаем:5^x = y ;5^x = 25 ;5^x = 5^2 ;x = 2 .Ответ: x = 2 .2 )а )( 2^( x^2 ) - 32 ) * √( 3 - х ) = 0 .Рассмотрим первую скобку, найдём её корни:( 2^( x^2 ) - 32 ) = 0 ;2^( x^2 ) = 32 = 2^5 ;x^2 = 5 ;x = ± √5 или x = 3 .Третий ответ обнуляет последнюю скобку исходного уравнения. Все три ответа удовлетворяютисходному уравнению, области определения x .б )( ( 2^x )^2 - 32 ) * √( 3 - х ) = 0 .Рассмотрим первую скобку, найдём её корни:( 2^x )^2 - 32 = 0 ;( 2^x )^2 = 32 ;2^x = ± √32 .Если мы работаем с вещественными числами, то 2^x > 0 , отрицательный вариант не подходит, тогда:2^x = √32 = √( 2^5 ) = 2^( 5/2 ) = 2^2,5 ;x = 2,5 ;Кроме того, x = 3 также является корнем уравнения.Уравнение имеет два корня: x = 2,5 и x = 3 .