Найдите сумму первых 7 членов арифметической прогрессии (bn)если b2+b4=14

Для указанной арифметической прогрессии b4 = b2 + 2d.b2 + b4 = 14.b4 = b2 + 2d.b2 + b2 + 2d = 14.2b2 + 2d = 14.b2 + d = 7.b2 = 7 - d.b1 = b2 - d = 7 - 2d.b7 = b1 + 6d = 7 - 2d + 6d = 7 + 4d.S = ((b1 + b7) / 2) * 7 = ((7 - 2d + 7 + 4d) / 2) * 7 = ((14 + 2d) / 2) * 7 = (7 + d) * 7 = 49 + 7d.Ответ: 49 + 7d.

Нам задана арифметическая прогрессия (b_n), известная сумма второго и четвертого ее членов b₂ + b₄ = 14. Нужно найти сумму первых семи членов арифметической прогрессии.

Решать задачу будем по следующему алгоритму

• выразим первый член арифметической прогрессии;
• выразим седьмой член арифметической прогрессии, они нам нужны для нахождения суммы первых семи членов прогрессии;
• используя формулу для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии найдем сумму первых семи членов прогрессии.

Выразим первый и седьмой член арифметической прогрессии

Любой член из арифметической прогрессии можно найти используя формулу:

b_n = b₁ + d(n - 1);

Используя эту формулу представим в виде суммы первого члена и разности арифметической прогрессии второй и четвертый член прогрессии.

b₂ = b₁ + d(2 - 1) = b₁ + d;

b₄ = b₁ + d(4 - 1) = b₁ + 3d;

Находим сумму и приравняем его к 14.

b₁ + d + b₁ + 3d = 14;

2b₁ + 4d = 14;

b₁ + 2d = 7.

Выражаем первый член пропорции b₁ = 7 - 2d;

Седьмой член арифметической прогрессии можно выразить из формулы:

b_n = b₁ + d(n - 1);

b7 = b1 + d(7 - 1) = 7 - 2d + 6d = 7 + 4d;

Вспомним формулу и вычислим сумму первых семи членов арифметической прогрессии

Формула для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии выглядит так:

S_n = (b₁ + b_n)/2 * n;

Подставляем  полученные выражения вместо первого и седьмого члена пропорции и преобразовываем.

S₇ = (b₁ + b₇)/2 * 7 = (7 - 2d + 7 + 4d)/2 * 7 = (14 + 2d)/2 * 7 = 2(7 + d)/2 * 7 = 7(7 + d).

Возможности найти разность арифметической прогрессии нет в виду малого количества данных в условии.

Ответ: S₇ = 7(7 + d).