Решите уравнение tg (2x)=tg (5x)

Перенесем правую часть нашего уравнения в левую и, исходя из того, что tg(x) - tg(y) = sin(x - y) / (cos x * cos y ), имеем:tg(2x) - tg(5х) = 0;sin(2x - 5x) / (cos(2x) * cos(5x) ) = 0, числитель нашего уравнения равняется нулю тогда когда знаменатель не равен нулю, произведем вычисления:1) sin( - 3x) = 0;- 3x = πn, n є Z;x = - πn/3, n є Z;2) cos2x * cos(5x) ≠ 0;cos(2x) ≠ 0;2x ≠ π/2 + πk, k є Z;x ≠ π/4 + πk/2, k є Z;cos(5x) ≠ 0;5x ≠ π/2 + πm, m є Z;x ≠ π/10 + πm/5, m є Z;Ответ: x = - πn/3, n є Z.

Решение приравниванием аргументов

Период тангенса равен π. То есть tg(a) = tg(a + π * n), где n – целое число.

Воспользуемся этим. Если tg(2 * x) = tg(5 * x), то аргументы тригонометрических функций должны отличаться на целое число периодов функции tg. Таким образом, справедливо:

2 * x + π * n = 5 * x,

откуда:

3 * x = π * n,

x = π * n / 3, где n – любое целое число.

Поскольку tg(a) не определен при a = π / 2 + π * k, нужно удостовериться, что найденные решения не выходят за область определения функции (ООФ). Для этого приравняем аргументы функций выражению π / 2 + π * k. Для tg(2 * x):

2 * x = π / 2 + π * k,

x = π / 4 + π * k / 2 = π / 4 * (2 * k + 1).

Установим, при каких n решение уравнения выходит за ООФ:

π * n / 3 = π / 4 * (2 * k + 1),

n = (3 * (2 * k + 1)) / 4.

В числителе дроби произведение 2 * k +1 – нечетное число, и  3 нечетное, в знаменателе – четное число, следовательно, n должно быть дробным, чтобы решение π * n / 3 содержало члены ряда π / 4 *(2 * k + 1).

Для tg(5 * x):

5 * x = π / 2 + π * k

x = π / 10 + π * k / 5 = π / 10 * (2 * k + 1)

аналогично установим, при каких n решения уравнения выходят за ООФ.

π * n / 3 = π / 10 * (2 * k + 1)

n = (3 * (2 * k + 1)) / 10.

Числитель дроби есть произведение двух нечетных множителей, а знаменатель – четное число, следовательно, n не может быть целым.

Окончательно x = π * n / 3.

Решение с помощью тригонометрических преобразований

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

tg(2 * x) – tg(5 * x) = 0.

Воспользуемся формулой разности тангенсов:

tg(a) – tg(b) = sin(a – b) / (cos(a) * cos(b))

вместо a у нас 2 * x, вместо b – 5 * x.

sin(2 * x – 5 * x) / (cos(2 * x) * cos(5 * x)) = 0.

Для того чтобы выполнялось это равенство, числитель дроби должен быть равен нулю, а знаменатель – не равен нулю.

• sin(-3 * x) = 0
• cos(2 * x) ≠ 0
• cos(5 * x) ≠ 0

Знаменатель обращается в ноль при следующих x:

2 * x = π /2 + π * k (k – любое целое число),

5 * x = π /2 + π * k,

x = π /10 + π * k / 5,

x = π /4 + π * k / 2.

Поскольку sin – нечетная функция,

sin(-3 * x) = -sin(3 * x),

-sin(3 * x) = 0.

sin(a) обращается в ноль при а = π * n (n – любое целое число)

3 * x = π * n.

x = π * n / 3

решения x = π * n / 3, и исключения из ООФ функции  x = π /10 + π * k / 5, x = π /4 + π * k / 2 не пересекаются, как было показано выше.