С числом, написанным на доске можно выполнять следующие операции: умножать на два, или переставлять как угодно цифры,

Число 74 мы можем получить только из числа 37 умножением на 2 или из числа 47 перестановкой цифр. 37 может быть получено из 73 перестановкой цифр. Все эти числа простые и не могут быть степенями двойки.Попробуем переставить цифры в двузначных числах степеней двойки: 16 - 61 простое, 32 - 23 простое, 64 - 46 (23 x 2). Все эти числа простые или простое умноженное на 2 и получить из них другие простые невозможно. Поэтому, получить 74 из 1 путем умножения на 2 и перестановкой цифр невозможно.

Проведем логический анализ.

Число 74 разделим на 2

74 : 2 = 37 - такое число мы никаким способом не можем получить если будем умножать на 2 числа, Числа умноженные на 2 будут четными, а число 37 нечетное.

Переставим цифры в 37 получим 73. Такое число тоже невозможно получить умножая на 2, так как 73 нечетное.

Переставим цифры в 74

74 меняем местами 7 и 4  и получаем 47 - нечетное число.

Значит проведя анализ чисел 74 и способов его получения мы пришли к выводу, что не сможем получить число 74 с 1.

Практический способ

1. Запишем 1 умножим его на 2.
2. Продолжаем умножать число на 2.
3. Меняем местами цифры.

1 * 2 = 2,

2 * 2 = 4,

4 * 2 = 8,

8 * 2 = 16.

16 переставим цифры 61 61 * 2 = 122.

16 * 2 = 32,

32 переставим цифры 23 23 * 2 = 46,

46 меняем цифры 64 64 * 2 = 128.

32 * 2 = 64,

64 меняем цифры 46. 46 * 2 = 92.

64 * 2 = 128.

При умножении с 1 на 2, мы получали числа. Если число двухзначное меняли местами цифры, и увеличивали число на 2.

Все полученные результаты четные.

Число 74 не получено в результате практического исследования.