Упростите Выражение (3x+x^2)^2-x^2(x-5)(x+5)+2x(8-3x^2)

(3x + x^2)^2 - x^2(x - 5)(x + 5) + 2x(8 - 3x^2) – первую скобку раскроем по формуле квадрата суммы (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, где a = 3x, b = x^2; вторые две скобки свернем по формуле разности квадратов (a – b)(a + b) = a^2 – b^2, где a = x, b = 5; последнюю скобку раскроем, умножив 2х на каждое слагаемое в скобке, на 8 и на (- 3x^2);9x^2 + 6x^3 + x^4 – x^2(x^2 – 25) + 16x – 6x^3 = 9x^2 + 6x^3 + x^4 – x^4 + 25x^2 + 16x – 6x^3 = (x^4 – x^4) + (6x^3 – 6x^3) + (9x^2 + 25x^2) + 16x = 34x^2 + 16x.

Упростим выражение (3x + x^2)^2 - x^2(x - 5)(x + 5) + 2x(8 - 3x^2) используя тождественные преобразования.

Алгоритм решения задания

• откроем скобки в выражении, используя формулы сокращенного умножения, распределительный закон умножения относительно вычитания, правило открытия скобок, перед которыми стоит знак плюс и знак минус;
• вспомним правило приведения подобных слагаемых;
• сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

Упростим выражение (3x + x^2)^2 - x^2(x - 5)(x + 5) + 2x(8 - 3x^2), используя алгоритм

Чтобы открыть скобки в выражении вспомним правила и формулы сокращенного умножения:

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений   плюс удвоенное произведение первого и второго выражений: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2;

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы a^2 – b^2 = (a – b)(a + b).

Распределительный закон умножения относительно вычитания.

(a - b) · c = ac - bc   или    с · (a - b) = са - cb.

Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус: скобки вместе со знаком минус опускаются, а знаки всех слагаемых в скобках заменяются на противоположные.

Открываем скобки в выражении:

(3x + x^2)^2 - x^2(x - 5)(x + 5) + 2x(8 - 3x^2) = 9x^2 + 6x^3 + x^4 – x^2(x^2 – 25) + 16x – 6x^3 = 9x^2 + 6x^3 + x^4 – x^4 + 25x^2 + 16x – 6x^3.

Скобки открыты, следующий шаг группировка и приведение подобных слагаемых.

9x^2 + 6x^3 + x^4 – x^4 + 25x^2 + 16x – 6x^3 = x^4 – x^4 + 6x^3 – 6x^3 + 9x^2 + 25x^2 + 16x = x^2(9 + 25) + 16x = 34x^2 + 16x.

Ответ: 34x^2 + 16x.