6 в степени x + 6 в степени 1 – x = 7

Решим уравнение 6 ^ x + 6 ^ (1 – x) = 7

6 ^ x + 6 ^ 1 * 6 ^ (- x) = 7;

6 ^ x + 6 * 6 ^ (- x) = 7;

6 ^ x + 6 * 1/6 ^ x = 7;

Правую и левую часть выражения умножаем на 6 ^ x. То есть получаем:

6 ^ x * 6 ^ x + 6 * 1/6 ^ x * 6 ^ x = 7 * 6 ^ x; 

Числитель и знаменатель в дроби 1/6 ^ x * 6 ^ x сокращаем на 6 ^ x, тогда получим:

(6 ^ x) ^ 2 + 6 * 1/1 * 1 = 7 * 6 ^ x;

(6 ^ x) ^ 2 + 6 = 7 * 6 ^ x; 

Перенесем все значения выражения на одну сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем: 

(6 ^ x) ^ 2 – 7 * 6 ^ x + 6 = 0;

Пусть 6 ^ x = a, тогда получим:

A ^ 2 – 7 * a + 6 = 0;

Найдем корни квадратного уравнения a ^ 2 – 7 * a + 6 = 0

A ^ 2 – 7 * a + 6 = 0;

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b ² – 4 * a * c = (- 7) ² – 4 · 1 · 6 = 49 - 24 = 25;

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

a₁ = (7 - √25)/(2 · 1) = (7 – 5)/2 = 2/2 = 1;

a₂ = (7 + √25)/(2 · 1) = (7 + 5)/2 = 12/2 = 6;

Отсюда получаем:

1. Уравнение имеет 2 корня;
2. 6 ^ x = a1;
3. 6 ^ x = a2.

Решим уравнения по отдельности и получим:

{ 6 ^ x = 1;

6 ^ x = 6;

{ 6 ^ x = 6 ^ 0;

6 ^ x = 6 ^ 1;

Если основания равны, то приравниваются их степени. То есть получаем 2 корня:

X = 0 и x = 1.

Отсюда получаем, что уравнение 6 ^ x + 6 ^ 1 * 6 ^ (- x) = 7 имеет 2 корня: х = 0 и х = 1.

 

Выпишем явно отрицательную степень как деление:6^x + 6^( 1 - x ) = 7 ;6^x + 6 * 6^( - x ) = 7 ;6^x + 6/( 6^x ) = 7 .Становится понятным, что можно ввести замену. Пусть 6^x = y , тогда:y + 6/y = 7 .Это уравнение сводится к квадратному умножением на y при условии, что y≠ 0 .y^2 - 7 * y + 6 = 0 ;D = 49 - 24 = 25 ;y = ( 7 ± 5 )/2 ;y = 1 , или y = 6 .Возвращаемся к исходной переменной x \"икс\":1 ) 6^x = y ;6^x = 1 ;x = 0 .2 ) 6^x = y ;6^x = 6 ;x = 1 .