Найти все корни совокупности двух равенств 3ху-х-у=7 и ху(в квадрате только х)+ху(в квадрате только у)=20

3 * х * у – х – у = 7.(x^2) * y + x * y^2 = 20.3 * х * у – (х + у) = 7.X * y * (x + y) = 20.X + y = 20/(x * y).3 * х * у – 20/(x * y) = 7.3 * (x * y)^2 – 7 * x * y – 20 = 0.X * y = (7 ± (49 + 4 * 3 * 20)^(1/2))/6 = (7 ± 17))/6.1) x * y = 24/6 = 4.X + y = 20/4 = 5.Тогда по теореме Виета х^2 – 5 * x + 4 = 0.X1,2 = (5 ± (25 – 4 * 4)^(1/2))/2 = (5 ± 3)/2.X1 = 8/2 = 4, y1 = 5 – x1 = 5 – 4 = 1.X2 = 2/2 = 1, y2 = 5 – x2 = 5 – 1 = 4.2) x * y = - 10/6 = - 5/3.X + y = 20/(-5/3) = - 12.Тогда по теореме Виета х^2 + 12 * x – 5/3 = 0.3 * х^2 + 36 * x – 5 = 0.X3,4 = (- 36 ± (1296 + 4 * 3 * 5)^(1/2))/2 = (- 36 ± 2√339)/2 = - 18 ± √339.X3 = - 18 + √339, y3 = - 12 + 18 - √339 = 6 - √339.X4 = - 18 - √339, y4 = - 12 + 18 + √339 = 6 + √339.

   Решите систему уравнений:

      {3xy - x - y = 7      {x²y + xy² = 20

  Введение новых переменных

   Преобразуем уравнения и введем новые переменные:

      {3xy - x - y = 7      {x²y + xy² = 20

      {3xy - (x + y) = 7      {xy(x + y) = 20

   Обозначим:

      x + y = p;

      xy = q;

      {3q - p = 7      {pq = 20

      {p = 3q - 7      {q * (3q - 7) = 20

      {p = 3q - 7      {3q² - 7q - 20 = 0

  Решение системы уравнений относительно p и q

      {p = 3q - 7      {3q² - 7q - 20 = 0

      3q² - 7q - 20 = 0;

      D = b² - 4ac = 7² + 4 * 3 * 20 = 49 + 240 = 289;

      q = (- b ± √D) / (2a) = (7 ± √289) / (2 * 3) = (7 ± 17) / 6;

      q1 = - 10 / 6 = -5/3;

      q2 = 24 / 6 = 4.

   1. q = -5/3;

      p = 3q - 7 = 3 * (-5/3) - 7 = - 5 - 7 = - 12.

   2. q = 4;

      p = 3q - 7 = 3 * 4 - 7 = 5.

  Решение системы уравнений относительно x и y

    1. q = -5/3; p = -12;

      {x + y = -12      {xy = -5/3

   Из обратной теоремы Виета следует, что x и y являются корнями квадратного уравнения:

      r² + 12r - 5/3 = 0;

      3r² + 36r - 5 = 0;

      D/4 = 18² + 15 = 339;

• r = (-18 ± √339) / 3 = - 6 ± √339 / 3;
• x = - 6 - √339 / 3; y = - 6 + √339 / 3;
• x = - 6 + √339 / 3; y = - 6 - √339 / 3;

      (x; y) = (- 6 - √339 / 3; y = - 6 + √339 / 3); (- 6 + √339 / 3; y = - 6 - √339 / 3).

   2. q = 4; p = 5;

      {x + y = 5      {xy = 4

   Из обратной теоремы Виета следует, что x и y являются корнями квадратного уравнения:

      r² - 5r + 4 = 0;

      D = 5² - 4 * 4 = 5² - 4 * 4 = 9;

      r = (5 ± √9) / 2 = (5 ± 3) / 2;

• r1 = 1; r2 = 4;
• x = 1; y = 4;
• x = 4; y = 1.

      (x; y) = (1; 4); (4; 1).

   Ответ: (- 6 - √339 / 3; y = - 6 + √339 / 3); (- 6 + √339 / 3; y = - 6 - √339 / 3); (1; 4); (4; 1).