Исследовать функцию на непрерывность, указать точки разрыва y=x*2-6/3x+5

Решение задачи:y = 2 * x – 6 / (3 * x) + 5.Функция не определена в точке x = 0.Выясним характер разрыва, для этого необходимо найти односторонние пределы (при x - > 0 + 0 в первом пределе и при x - > 0 - 0 во втором):1) Lim(2 * x – 6 / (3 * x) + 5) = (Воспользуемся правилом Лопиталя) = Lim(2 + 6 / (3 * x^2)) = + бесконечность.2) Аналогично Lim(2 * x – 6 / (3 * x) + 5) = - бесконечность.Ответ: функция имеет разрыв второго рода в точке x = 0.

  Область определения функции

   Найдем область определения заданной функции. Поскольку дробь определена при таких значениях аргумента, когда знаменатель отличен от нуля, то:

• 3x + 5 ≠ 0;
• 3x ≠ -5;
• x ≠ -5/3;
• x ∈ (-∞; -5/3) ∪ (-5/3; ∞).

   Следовательно, x = -5/3 является точкой разрыва, а функция непрерывна в двух областях:

      x ∈ (-∞; -5/3) и x ∈ (-5/3; ∞).

  Поведение функции в каждой из областей непрерывности

   Исследуем функцию на возрастание и убывание. Для этого вычислим производную функции:

• y = (2x - 6) / (3x + 5);
• y\' = {(2x - 6)\' * (3x + 5) - (3x + 5)\' * (2x - 6)} / (3x + 5)^2;
• y\' = {2 * (3x + 5) - 3 * (2x - 6)} / (3x + 5)^2;
• y\' = (6x + 10 - 6x + 18) / (3x + 5)^2;
• y\' = 28 / (3x + 5)^2.

   При допустимых значениях переменной знаменатель дроби положительное число, следовательно, и производная функции принимает только положительные значения.

   Из этого следует, что функция возрастает в каждой из двух областей непрерывности. Причем, при стремлении аргумента к обеим бесконечностям, функция асимптотически стремится к значению 2/3, при стремлении аргумента к точке разрыва слева, функция стремится к плюс бесконечности, а при стремлении справа - к минус бесконечности (см. рис. http://bit.ly/2Dzdyye).

   Из графика функции, а также из того факта, что функция при всех допустимых значениях переменной возрастает, следует, что областью значений функции является все множество действительных чисел, кроме числа 2/3:

      y ∈ (-∞; 2/3) ∪ (2/3; ∞).