Докажите справедливость неравенства (x^3+y^3)^2-(x^2+y^2)^3+3x^2y^2(x+y)^2=8x^3y^3

(x ^ 3 + y ^ 3) ^ 2 - (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 3 + 3 * x ^ 2 * y ^ 2 * (x + y) ^ 2 = 8 * x ^ 3 * y ^ 3Раскрываем скобки и переносим всё в левую сторону:x ^ 6 + 2* x ^ 3 * y ^3 + y ^ 6 - x ^ 6 - 3 * x ^ 4* y ^ 2 - 3 * x ^2 * y ^ 4 - y ^ 6 + 3 * x ^ 2 * y ^ 2 * (x ^ 2 + 2 * x * y + y ^ 2) - 8 * x ^ 3 * y ^ 3 = 02* x ^ 3 * y ^3 - 3 * x ^ 4* y ^ 2 - 3 * x ^2 * y ^ 4 + 3 * x ^ 4 * y ^ 2 + 6 * x ^ 3 * y ^ 3 + 3 * x ^ 2 * y ^ 4 - 8 * x ^ 3 * y ^ 3 = 08 * x ^ 3 * y ^ 3 - 8 * x ^ 3 * y ^ 3 = 0Отсюда 0 = 0

   Требуется доказать тождество:

      (x³ + y³)² - (x² + y²)³ + 3x²y²(x + y)² = 8x³y³.

  Формулы для возведения двучлена в квадрат и в куб

   Чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать левую часть тождества и получить правую, или преобразовать правую часть и получить левую, или же преобразовать обе части и получить одно и то же выражение. В данном случае целесообразно применить первый способ.

   Для доказательства воспользуемся формулами для возведения двучлена в квадрат и в куб:

      (a + b)² = a² + 2ab + b²;

      (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

 

  Преобразование левой части тождества

   Для удобства преобразований обозначим:

      Z = (x³ + y³)² - (x² + y²)³ + 3x²y²(x + y)².

   Возведем в соответствующие степени двучлены в этом равенстве:

• (x + y)² = x² + 2xy + y²;
• (x³ + y³)² = x⁶ + 2x³y³ + y⁶;
• (x² + y²)³ = x⁶ + 3x⁴y² + 3x²y⁴ + y⁶.

   Тогда для Z получим:

      Z = (x⁶ + 2x³y³ + y⁶) - (x⁶ + 3x⁴y² + 3x²y⁴ + y⁶) + 3x²y²(x² + 2xy + y²);

      Z = x⁶ + 2x³y³ + y⁶ - x⁶ - 3x⁴y² - 3x²y⁴ - y⁶ + 3x⁴y² + 6x³y³ + 3x²y⁴.

   Приведем подобные члены в этом выражении:

       Z = 8x³y³, или

      (x³ + y³)² - (x² + y²)³ + 3x²y²(x + y)² = 8x³y³.

   Что и требовалось доказать.