Вычислите производную 2^x *cos 2x

http://bit.ly/2giz1BrИмеем дело с производной сложной функции.Сложная функция представлена произведением функций.Для этого случая следует применить формулу:(u * v)\' = u\'v + v\'u , гдеu = 2^xv = cos (2x)Таким образом получаем:u\'v = 2^x ln (2) * cos (2x)v\'u = 2^x (-2sin (2x))cos (2x) * 2x\' + 2x * cos (2x)\' = 2^x ln (2) * cos (2x) + 2^x (-2sin (2x)) = 2^x ln (2) * cos (2x) - 2^x * 2sin (2x)

Для вычисления производной функции: 2^x ∙ cos (2x) потребуется использовать правила дифференцирования сложных функций и правила дифференцирования произведения функций.

Правила дифференцирования

При дифференцировании заданной функции используем следующие правила:

• (x^a)\' = ax^(a-1) -правило дифференцирования степенной функции;
• (uv)\' = u\'v + uv\' - правило дифференцирования произведения функций;
• (f(g(x)))\' = f(x) \'∙ g(x)\' - правило дифференцирования сложной функции.

Применяя эти правила, можно найти производную заданной функции.

Вычисление производной

Сначала применим правило дифференцирования произведения функций:

(2^x ∙ cos(2x))\' = (2^x)\' ∙ (cos(2x)) + (2^x) ∙ (cos(2x))\' =

= (2^x ∙ ln(2)) ∙ (cos(2x)) + (2^x) ∙ (- 2sin(2x));Производная показательной функции:(2^x)\' = 2^x ∙ ln(2);Производную сложной функции ищем по формуле:(a^f(x))\' = a^f(x) ∙ ln(a) ∙ f(x)\';(2^x)\' = 2^x ∙ ln(2)(x)\' = 2^x ∙ ln(2);(x)\' = 1;

(cos(2x))\' = (cos(2x))\'(2x)\' = - 2sin(2x);(2x)\' = 2;

Ответ:  -2 ∙ 2^x ∙ sin(2x) + 2^x ∙ ln(2) ∙ cos(2x)