по теме «Квадратные уравнения». Решить уравнения: а) 14х2 – 9х = 0;б) 16х2 = 49;в) 2х2 - 11х + 12 = 0;г) х2 – 36х + 324

Задание: Решить уравнения: а) 14х^2 – 9х = 0;1. Вынесем x за скобки: x * (14x - 9) = 0.2. x = 0 или 14x - 9 = 0x = 9/14.б) 16х^2 = 49;x^2 = 49 / 16x = +- 7/4в) 2х^2 - 11х + 12 = 0;Ищем D = 121 - 4 * 2 * 12 = 25Корни: x1 = (11 + 5) / 4 = 4x2 = (11 - 5) / 4 = 1,5г) х^2 – 36х + 324 = 0;D = 1296 - 4 * 1 * 324 = 0x = 36 / 2 = 18д) 2x^2 + х + 16 = 0D = 1 - 4 * 2 * 16 = -127. Отрицательное значение. Нет корней.е) (х^(2 )-7х) / 8-1 = 0Приведем к общему знаменателю: ((х^(2 ) - 7х - 8) / 8 = 0х^2 - 7х - 8 = 0D = 49 - 4 * 1 * (-8) = 81x1 = (7 + 9) /2 = 8x2 = (7 - 9) /2 = -1Решить биквадратное уравнение: х^4 – 13х^2 + 36 = 0.Пусть y = x^2, тогда получаем уравнение: y^2 – 13y + 36 = 0D = (-13)^2 - 4 * 1 * 36 = 25y1 = 4 и y2 = 9x^2 = 4, отсюда x12 = +-2x^2 = 9, отсюда x34 = +-3Сократить дробь: (6х^2 - х - 1) / (9х^2 - 1).Найдем корни и числителя и знаменателя по очереди:6х^2 - х - 1 = 0D = 1 - 4 * 6 * (-1) = 25x1 = (1+5) / 12 = 1/2x2 = (1-5) / 12 = -1/3Значит (6х^2 - х - 1) = (x +1/2)(x-1/3)9х^2 - 1 = 09х^2 = 1х^2 = 1/9x12 = +- 1/3Значит (9х^2 - 1) = (x-1/3)(x+1/3)(6х^2 - х - 1) / (9х^2 - 1) = (x +1/2)(x-1/3) / (x-1/3)(x+1/3).Cокращаем на (x-1/3)Ответ: (x +1/2) / (x +1/3)Один из корней уравнения х^2 + kx +45 = 0 равен 5. Найдите другой корень и коэффициент k.Подставим в уравнение вместо x корень 5.25 +5k +45 = 0k = -14Подставим в уравнение, найдем D и корень: D = 16x1 = 5 и x2 = 9

Решим уравнение 14х² – 9х = 0

Разложим на множители левую часть уравнения:

14х² – 9х = х (14х – 9).

х (14х – 9) = 0.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

• х = 0,
• 14х – 9 = 0.

х₁ = 0;

х₂ = 9/14.

Ответ: 0; 9/14.

Решим уравнение 16х² = 49

16х² = 49,

х² = 49/16,

х₁ = 7/4,

х₂ = - 7/4.

Ответ: -7/4; 7/4.

Решим уравнение 2х² - 11х + 12 = 0

• Найдем дискриминант: D = 11² – 4 * 2 * 12 = 121 – 96 = 25.
• х₁ = (11 – 5) / 4 = 6 / 4 = 3/2 = 1,5;
• х₂ = (11 + 5) / 4 = 16 / 4 = 4.

Ответ: 1,5; 4.

Решим уравнение х² – 36х + 324 = 0.

• Найдем дискриминант: D = 36² – 4 * 1 * 324 = 0.
• Уравнение имеет один корень х = -b / 2a;
• х = 36 / 2 = 18.

Ответ: 18.

Решим уравнение 2х² + х + 16 = 0.

• Найдем дискриминант: D = 1² – 4 * 2 * 16 = 1 – 128 = -127.
• D < 0;
• корней нет.

Ответ: корней нет.

Решим уравнение (х² - 7х) / 8 – 1 = 0

Упростим выражение:

(х² - 7х) / 8 – 1 = 0,

(х² - 7х) / 8 = 1,

х² - 7х = 8,

х² - 7х – 8 = 0.

• Найдем дискриминант: D = 7² + 4 * 1 * 8 = 49 + 32 = 81.
• х₁ = (7 – 9) / 2 = -2 / 2 = -1;
• х₂ = (7 + 9) / 2 = 16 / 2 = 8.

Ответ: -1; 8.

Решим биквадратное уравнение: х⁴ – 13х² + 36 = 0

Произведем замену переменных: у = х².

у² – 13у + 36 = 0.

• Найдем дискриминант: D = 13² - 4 * 1 * 36 = 169 - 144 = 25.
• у₁ = (13 – 5) / 2 = 8 / 2 = 4;
• у₂ = (13 + 5) / 2 = 18 / 2 = 9.

Вернемся к исходным переменным:

х² = 4,

х² = 9.

• х₁ = -2;
• х₂ = 2;
• х₃ = -3;
• х₄ = 3.

Ответ: -3; -2; 2; 3.

Сократим дробь: (6х² – х - 1) / (9х² - 1)

Разложим числитель на множители.

Найдем корни уравнения 6х² – х – 1 = 0.

• Найдем дискриминант: D = 1² + 4 * 1 * 6 = 1 + 24 = 25.
• х₁ = (1 – 5) / 12 = -1/3;
• х₂ = (1 + 5) / 12 = 1/2.

6х² – х – 1 = 6 (х + 1/3) (х – ½) = 3 (х + 1/3) * 2 (х – 1/2) = (3х + 1) (2х – 1).

Разложим знаменатель на множители.

9х² – 1 = (3х – 1) (3х + 1).

Получим дробь:

(6х² – х - 1) / (9х² - 1) = (3х + 1) (2х – 1) / (3х – 1) (3х + 1) = (2х – 1) / (3х – 1).

Ответ: (2х – 1) / (3х – 1).

Рассмотрим уравнение х² + kx + 45 = 0

• Найдем дискриминант D = k² - 4 * 1 * 45 = k² - 180.
• х₁ = (-k - √(k² - 180)) / 2.
• х₂ = (-k + √(k² - 180)) / 2.

По условию один из корней равен 5.

х₁ = 5:

(-k - √(k² - 180)) / 2 = 5.

Решим уравнение:

-k - √(k² - 180) = 10,

√(k² - 180) = -k - 10,

k² – 180 = (-k - 10)²,

k² – 180 = k² + 20k + 100.

-280 = 20k,

k = -14.

Подставим k = -14 в значение х₂:

х = (14 + √(196 - 180)) / 2 = 9.

Ответ: k = -14, уравнение примет вид: x² - 14x + 45 = 0, корни уравнения: 5; 9.