0.5×sin2x×ctgx-cosx=sin^2x

Решим уравнение 0.5 × sin ^ 2 x × ctg x – cos x = sin ^ 2 x

Для решения уравнения, используем формулу сокращенного умножения:

• Ctg x = cos x/sin x;
• Sin ^ 2 x = 2 * sin x * cos x;
• Sin ^ 2 x = 1 – cos ^ 2 x.

0.5 × sin ^ 2 x × ctg x – cos x = sin ^ 2 x;

0.5 × 2 * sin x * cos x × ctg x – cos x = sin ^ 2 x;

1/2 × 2 * sin x * cos x × ctg x – cos x = sin ^ 2 x; 

Числитель и знаменатель в дроби 1 / 2*2 сокращаем на 2, тогда получим:

1/1 * 1 * sin x * cos x * ctg x – cos x = sin ^ 2 x;

Sin x * cos x * ctg x – cos x = sin ^ 2 x;

Sin x * cos x * cos x/sin x – cos x = sin ^ 2 x;

Числитель и знаменатель в дроби Sin x * cos x * cos x/sin x сокращаем на sin x, тогда получим:

1 * cos x * cos x/1 – cos x = sin ^ 2 x; 

Cos ^ 2 x – cos x = sin ^ 2 x;

Перенесем все значения выражения на одну сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем:

Cos ^ 2 x – cos x – sin ^ 2 x = 0;

Cos ^ 2 x – cos x – (1 – cos ^ 2 x) = 0;

Сначала раскрываем скобки. Если перед скобками стоит знак минус, то при ее раскрытии, знаки значений меняются на противоположный знак. Если же перед скобками стоит знак плюс, то при ее раскрытии знаки значений остаются без изменений. То есть получаем:

Cos ^ 2 x – cos x – 1 + cos ^ 2 x = 0;

2 * cos ^ 2 x – cos x – 1 = 0;

Пусть cos x = a, тогда получим:

2 * a ^ 2 – a – 1 = 0;

Найдем корни уравнения 2 * a ^ 2 – a – 1 = 0

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b ²  -  4 * a * c = (- 1) ² -  4 · 2 · (- 1) = 1 + 8 = 9;

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

a₁ = (1 - √9)/(2 · 2) = (1 – 3)/4 =  - 2/4 = - ½ =  - 0.5;

a₂ = (1 + √9)/(2 · 2)  =  (1 + 3)/4 = 4/4 = 1;

Отсюда получили:

• Cos x = - ½;

X = + - arccos (- ½) + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

X = + - arccos (- ½) + 2 * pi * n, где n принадлежит Z; 

X = + - 2 * pi/3 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

• Cos x = 1;

X = 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

В итоге получили, что уравнение 0.5 × sin ^ 2 x × ctg x – cos x = sin ^ 2 x имеет корни:

• X = + 2 * pi/3 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;
• X = - 2 * pi/3 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;
• X = 2 * pi * n, где n принадлежит Z.

Разложим ctgx = cosx/sinx, а sin^2x перенесем в левую часть, получим равенство:0,5 * sin2x * cosx/sinx - cosx - sin^2x = 0;Разложим sin2x = 2 * sinx * cosx:sinx * cosx * cosx/sinx - cosx - sin^2x = 0;cos^2x - cosx - sin^2x = 0;Разложим cos^2x - sin^2x = cos2x = 1 - 2 * sin^2x:1 - 2 * sin^2x - sin^2x =0;1 - sin^2x = 0;sin^2x = 1;sinx = 1;x = п/2 + 2 * п * k, k принадлежит Z