Вычислите: 48+64+80+...+240 а)1872 б)3840 в)1760 г)2400

Определим значение следующего выражения. Выполняем действие сложение. Записываем решение.48 + 64 + 80 + 96 + 112 + 128 + 144 + 160 + 176 + 192 + 208 + 224 +240 = 112 + 176 + 240 + 304 + 368 + 432 + 240 = 288 + 544 + 800 + 240 = 832 + 1040 = 1872.Выполняем действие сложение. В результате получается ответ равный 1872.Значит, правильный вариант ответа а.

Решим данную задачу используя понятие арифметической прогрессии по следующему плану:

• покажем, что числа, сумму которых требуется найти, образуют арифметическую прогрессию;
• найдем первый член, разность этой прогрессии, а также и количество членов, которые составляют эту прогрессию;
• используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии, вычислим требуемую сумму.

Решение задачи.

Покажем, что данные числа образуют арифметическую прогрессию

Обозначим последовательность чисел из данной суммы через аn.

Тогда первый член а1 данной последовательности равен 48, второй член равен 64, третий член равен 80, а последний член этой последовательности равен 240.

Согласно определению, каждый член арифметической прогрессии является суммой предыдущего члена этой прогрессии и некоторого постоянного для всей прогрессии числа d, называемого разностью арифметической прогрессии.

найдем разность между вторым и первым членами последовательности an:

а2 - а1 = 64 - 48 = 16.

Найдем разность между третьим и вторым членами последовательности an:

а3 - а2 = 80 - 64 = 16.

Тогда, если данная последовательность является  арифметической прогрессии, то первый член данной прогрессии равен 48, а разность  данной прогрессии равна 16.

Покажем, что число 240 также является членом этой прогрессии.

Используя формулу n-го члена арифметической прогрессии аn = a1 + (n - 1) * d, найдем при каком значении n выполняется соотношение:

48 + (n - 1) * 16 = 240.

Решая данное уравнение, получаем:

(n - 1) * 16 = 240 - 48;

(n - 1) * 16 = 192;

n - 1 = 192 / 16;

n - 1 = 12;

n = 12 + 1;

n = 13.

Следовательно, число 240 является 13-м членом а13 данной арифметической прогрессии.

Следовательно, в данной прогрессии 13 членов.

Находим сумму данных чисел

Подставляя в формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn = (2 * a1 + d * (n - 1)) * n / 2 значения а1 = 48, d = 16, n = 13, получаем:

S13 = (2 * 48 + 16 * (13 - 1)) * 13 / 2 = (2 * 48 + 16 * 12) * 13 / 2 =2 * (48 + 16 * 6) * 13 / 2 = (48 + 16 * 6) * 13 =  (48 + 96) * 13 = 144 * 13 = 1872.

Таким образам, искомая сумма равна 1872.

Ответ: правильный ответ а)1872.